【推荐1】（1）如图1，等边三角形中，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接，则线段与线段的数量关系为___________；
（2）如图2，等腰直角三角形中，，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接．
①求线段与线段的数量关系，并说明理由；
②若，请直接写出线段的长．

   

【推荐2】问题背景：已知∠GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B，C重合），DG交AB所在直线于点E、DH交AC所在直线于点F．记△BDE的面积为，△CDF的面积为．

(1)初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形．，，且，时，           ．
(2)类比探究：在（1）的条件下，沿BC方向平移∠GDH，使得，如图2所示位置，则          ．
(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，．
（Ⅰ）如图3当点D在线段BC上运动时，设，，
①求证：△BDE∽△CFD．
证明：
∵，          ，
∴
∵
∴△BDE∽△CFD．
②直接写出          ，          （结果用含m，π，β的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图4，当点D在BC的延长线上运动时，设，，求的表达式（结果用含m，n，β的三角函数表示）．

【推荐1】如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交于点，求证：；
(3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度．

【推荐2】【材料阅读】
材料：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图，为内一点，在射线截得弦，则在角平分线上．
   
材料：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”．
认真研读以上材料，完成以下问题：
【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有_____________________________（填序号）
每个三角形都有“等弦圆”；一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；每个三角形都只有一个“等弦圆”；若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形．
【问题2】如图2，是经过两点的“等弦圆”，交边于．求证：．
   
【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为_____________________；
【问题4】如图，中，，是经过点的“等弦圆”，交边于，交边于，交边于（在的右边）．
   
（1）连结，则_______________________；
（2）若，求弦与弧围成阴影部分的面积．

【推荐3】已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．

(1)如图，连接，求证：；
(2)如图，；
若，求的长；
若，求的值；
(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．

【推荐2】问题提出：

(1)如图1，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，则线段，和之间的数量关系是     ．（提示：将绕点A旋转至）

(2)问题探究：如图2，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，．已知，都不是直角，则当与满足      时，成立，

(3)问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为的正方形，高为，现需用隔音板材填充，，，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边，上，，，求共需消耗的板材面积．