【推荐1】如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)证明：；
(2)猜想：当满足什么条件时，四边形为正方形？并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，若，求的长度．

【推荐2】阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案：

课题	测凉亭与游艇之间的距离
测量工具	皮尺等
测量方案示意图（不完整）
测量步骤	①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据	米，米，米

(1)任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整；
(2)任务二：
①凉亭与游艇之间的距离是_______米；
②请你说明小明方案正确的理由．

【推荐3】已知：如图，、相交于点，点、在上，，，，求证：．
   

【推荐1】如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC中点，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过AE上的一点M，分别交AB，BC于点F，G，连BM，此时∠FBM=∠CBM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BC=6，OB：OA=1：2 时，求，AM，AF围成的阴影部分面积．

【推荐2】如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．

   

(1)求的长；
(2)求中边上的高．

【推荐3】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点 C的对应点 C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边 C′D′于点E．
（1）求证：BC＝BC′；
（2）若 AB＝2，BC＝1，求AE的长．

【推荐1】如图，在矩形中，点О为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，试判断四边形的形状，并说明理由.

【推荐2】综合与实践

       

问题情境
在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中．
实践探究
（1）如图2，将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片与，将纸片沿方向平移，连接（与交于点O），，，得到图3所示的图形．若，解答下列问题：
①请你猜想四边形的形状，并证明．
②直接写出平移的距离．
拓展延伸
（2）如图4，先将纸片沿方向进行平移，然后将纸片绕点A顺时针旋转，使得，恰好经过点C，求出平移的距离．

【推荐3】已知：如图，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点E，，垂足为点F，分别交边于点M和N．求证：

(1)四边形是矩形；
(2)．

【推荐1】如图，在中，，点是中点，连接，点为的中点，过点作交线段的延长线于点，连接．
   
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积是四边形的面积的一半的三角形．

【推荐2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．

【推荐3】已知：在梯形中，，，，点是的中点，点是的中点，连接交于点．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．