【推荐1】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
   
(1)（思想应用）已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含m的代数式表示___________，用含n的代数式表示___________；
②据此直接写出的最小值 ___________；
(2)（类比应用）根据上述的方法，直接写出代数式的最小值是 ___________．

【推荐3】如下图所示，在两个村庄A，B附近的河流可以近似地看成一条折线段（图中）A，B分别在河的两旁，现要在河边修一个水泵站，同时向A，B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短，某人甲提出了这样的建议：从点B向河道作垂线交于点P，则点P为水泵站的位置．
（1）你认为甲的建议符合要求吗？（管道总长最短）
（2）若认为合理，请说明理由，若不认同，那么你认为水泵站应该建在哪里？请在图中标出来，并说明作图的依据.

【推荐1】如图，将绕点B逆时针旋转后得到，的延长线与相交于点F，连接，若，点E在线段上，．

(1)求证：；
(2)若，求的长

【推荐2】在中，，，为边延长线上一动点，点在边延长线上，．点关于点的对称点为点，连接，．

(1)设，．判断与的数量关系，并证明
(2)取中点，连接、，补全图形，判断与的数量关系与位置关系，并证明．

【推荐1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：
（1）在网格中画出四边形关于直线对称的四边形；
（2）求四边形的面积．

【推荐3】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点在小正方形的顶点上．
   
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．
(2)作的平分线交于D．
(3)的值为______．
(4)与全等且有1个公共顶点C的格点三角形有______个（除外）．

【推荐1】在如图所示的的网格中，的三个顶点A、B、C均在格点上，请仅用无刻度直尺按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
   
(1)如图1，作出关于直线m对称的；
(2)如图2，在直线m上作一点P，使的周长最小；
(3)如图3，请作出格点边上的高．

【推荐2】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD．若A到河岸CD的中点的距离为500米．

(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短? 用尺规作图在图中画出来
(2)最短路程是多少?

【推荐3】解答：
(1)如图，在方格纸中，画出关于直线MN对称的图形；
(2)在对称轴MN上求一点P，使得最短．