【推荐1】两个小镇A、B与两条公路、位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号塔，要求信号塔到两个小镇A、B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．
   

【推荐2】如图，在中，，垂足是点D．

(1)利用尺规作的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)作直径，连接，求证：．

【推荐3】如图，在矩形中，已知，请用尺规作图法，作四边形为菱形，要求：E在线段上，F在线段上．（保留作图痕迹，不写作法）
   

【推荐1】如图，已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为.
求证：平分.

【推荐2】如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，．

（1）求证：是的切线．
（2）设的半径为，且，求的长．

【推荐3】如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

(1)证明DE是⊙O的切线；
(2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长．

【推荐2】下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．

作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
，        ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(                           ) (填写推理依据) ．

【推荐3】如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）