【推荐1】如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，．求的长．

【推荐2】某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
   


探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为     
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点．
①由旋转得：     ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即．
②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．

【推荐3】已知，在等边△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 边上的点，BE=CD，连接 AE、BD 相交于点 F．
(1)如图 1，求∠AFD的度数；
(2)如图 2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF=HF；
(3)如图 3，在(2)的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2， AF＝10，求DM长．
   

【推荐2】如图，已知，EF垂直平分线段BC．利用尺规求作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）

【推荐1】如图，在中，．
（1）尺规作图：作⊙，使圆心O在BC上，且⊙与AC，AB都相切（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，若⊙与AB相切于点D，与BC的另一个交点为E，，，求AC的长．

【推荐2】如图，内接于（不是直径）与相交于点，且与相切点．

(1)求证：平分；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，中，，O是上一点，以O为圆心、为半径的圆与切于点D，交于点E，连接、．

(1)求证：；
(2)若，，求的直径．