【推荐1】如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
   
(1)当点与点重合时，的值为________；
(2)当与全等时，直接写出的值；
(3)求关于的函数解析式．

【推荐3】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；
(2)若，求的长：
(3)若是等腰三角形，写出点F的坐标．

【推荐1】如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接．

(1)如图①，，，求的度数．
(2)如图②，若，，求的度数．
(3)当点D在直线上运动时（不与点B、C重合），试探究与的数量关系，并说明理由．

【推荐2】在中，，，点D为射线上一动点，连接，在右侧作线段，使，且满足，连接，，
(1)如图1，若点D在线段的延长线上，求证：；

(2)如图2，若点D在线段上，取的中点F，连接，

①依题意补全图2，
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足，
（1）求A点的坐标及线段OA的长度；
（2）点P为x轴正半轴上一点，且△AOP是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）如图2，若B（1，0），C（0，－3），试确定∠ACO+∠BCO的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.

【推荐1】如图，在等边中，，，现有，两点分别从点，同时出发，沿的边运动，已知点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，，两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点，在边上运动时，是否存在使的位置？若存在，请求出此时点，运动的时间；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．
（1）AF＝　　（用含t的代数式表示）．
（2）当点B落在DE上时，求t的值．
（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．

【推荐3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）①BQ＝　 　，BP＝　 　；（用含t的代数式表示）
②设△PBQ的面积为y（cm²），试确定y与t的函数关系式；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．

【推荐1】综合与实践综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：如图1，在中，，点P是直线上一动点．操作一：连接，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，如图2．根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形的形状是          ；
(2)迁移探究：①如图4，当点P与点C重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
(3)拓展应用：当点P与点A，点C都不重合时，若，请直接写出的长．

【推荐2】在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
   
(1)如图1，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(3)当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC²的值．