【推荐1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°；
①求证：△OEC是等腰三角形；
②求∠DOE的度数．

【推荐2】如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动时间为，解答下列问题：

(1)填空：用含的代数式表示______，______；
(2)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求的值；
(3)当为何值时，是等腰三角形？

【推荐2】在中，是边上的高线是边上的中线，于，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．

【推荐3】如图①，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作， 交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．

(1)当点和点重合时，求线段的长；
(2)当点和点重合时，求；
(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；

【推荐1】请阅读下列材料：
提出问题：现有2个边长是1的小正方形，请你把它们分割后，（图形不得重叠，不得遗漏），组成一个大的正方形，解决这个问题的方法不唯一，但有一个解题的思路是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得，由此可知新正方形的边长等于原来正方形的对角线的长．

（1）解决问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为（）．依题意，割补前后图形的面积相等，有          ，解得＝          ．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．请你在图3中画出分割线，在图4中拼出新的正方形．

（2）模仿演练：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图5，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图5中画出分割线，并在图6中的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．

（3）应用创新：
图7是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图7中画出分割线，在图8中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图）．

【推荐2】图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．

(1)轴对称：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1，求的大小；
(2)旋转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点H、G，连接，如图2，则线段之间存在的数量关系为________，并证明你的结论；
(3)计算：在图2中，连接正方形对角线，若的两边分别交对角线于点M、点N，如图3，若，求正方形的面积．

【推荐3】如图，在中，，边上的高，，分别是边，上的两个动点（点不与点、重合），与交于点，且，以为边，在点的下方作正方形．

(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长．
(2)设，与正方形重叠部分的面积为，则当为何值时，有最大值，最大值是多少？

【推荐1】如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．

(1)【观察猜想】
将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时：的值为_____；∠BEC的度数为______度；

(2)【类比探究】
如图（3），继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值以及∠BFC的度数；

(3)【拓展延伸】
若，，当CE所在的直线垂直于AD时，请直接写出线段BD的长．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，，点P为对角线AC上的一个动点，连接PD，过点P作，交直线AB于点E．

(1)如图①，当点E在线段AB上时，和的数量关系为________，PE与DP的数量关系为_____．
(2)如图②，当点E在BA的延长线上时，连接DE若，求DE的长；
(3)如图③，当点E在AB上时，过点P作于点M，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设DM的长为x矩形PEFD的面积为y．请求出y与x之间的函数关系式及y的最小值．

【推荐3】如图，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧，⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标（把其中一个点M坐标的求解过程写出来）．