综合与实践
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
，
，
满足的关系： ．
(2)如图4，以
的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明．
(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为
，
，直接写出该飞镖状图案的面积．
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
，，满足的关系： ．(2)如图4，以
的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明．(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为
，，直接写出该飞镖状图案的面积．
23-24八年级上·山西运城·期中 查看更多[2]
山西省运城中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（已下线）第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想【六大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）
更新时间：2023-12-08 11:21:26
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
【推荐1】如图，
内接于
，
，
的延长线交
于点
．
平分
；
(2)若
，
，求
和
的长．
内接于，，的延长线交于点．
平分；(2)若
，，求和的长．
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解答题-证明题
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(0.65)
【推荐2】如图，为的直径，
，分别切于点
，，交
的延长线于点
，
的延长线交于点
，
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长，
为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．（1）求证：
；（2）若
，，求的长，
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解答题-作图题
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适中
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【推荐1】三角形
在平面直角坐标系中的位置如图所示，点
为坐标原点，
，
，
．将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形
．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出点
，
，
的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）；
（3）请直接写出三角形ABC的面积为_________．
在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为坐标原点，，，．将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形．（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出点
，，的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）；（3）请直接写出三角形ABC的面积为_________．
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解答题-问答题
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(0.65)
【推荐2】如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
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解答题-问答题
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适中
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【推荐3】探究题：
（一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示：
（2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形．
（二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由．
（一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示：
（2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形．
（二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】阅读问题：
赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理．
(1)小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案：
问题：四边形
满足
，
，
，
，
，求四边形的面积．
解决思路：①如图2，将四个全等的四边形围成一个以为边的正方形
，则四边形
的形状是__________________（填一种特殊的平行四边形）；
②求得四边形的面积是__________．
(2)类比小明的问题解决思路，完成下面的问题：
如图3，四边形满足
，
，
，，，补全图3，四边形的面积__________．
赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理．
(1)小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案：
问题：四边形
满足，，，，，求四边形的面积．解决思路：①如图2，将四个全等的四边形围成一个以
为边的正方形，则四边形的形状是__________________（填一种特殊的平行四边形）；②求得四边形
的面积是__________．(2)类比小明的问题解决思路，完成下面的问题：
如图3，四边形
满足， ，，，，补全图3，四边形的面积__________．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若
，
，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，
，求该风车状图案的面积．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若
，，此时空白部分的面积为__________；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，
，求该风车状图案的面积．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
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