【推荐1】如图1，若顺次连接四边形各边中点的四边形是矩形，则称原四边形为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中母矩形”．
   
(1)如图2，在直角坐标系：中，已知，，，请在格点上标出点的位置（只标一点即可），使四边形是中母矩形．并写出点的坐标．
(2)如图3，以的边，为边，向三角形外作正方形及，连接，相交于点，试判断四边形是否是中母矩形？说明理由．
(3)如图4，在中，，，是斜边的中点，是直角边的中点，是直角边上一动点，试探究：当在边上什么位置时，四边形是中母矩形？

【推荐2】已知A，C，B在同一条直线上，，都是等边三角形，交于点N，交于点M，，垂足为点G．求证：．

【推荐3】如图，在四边形中，E，F是上两点，≌．求证：≌．（每行都要写理由）

【推荐1】如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、．
   
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求弦的长．

【推荐2】如图，在中，，线段的垂直平分线分别交边，于点，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若，，求的长．

【推荐3】如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，点C落在C′处，BC′交AD于点E，已知AD=16，AB=8，求三角形BED的面积．

【推荐1】如图，正方形ABCD中，点P是边CD上一动点（不与点C，D重合），连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，则∠POE=　 　（用含α的式子表示）；
（2）连接OC，CE，判断△OCE的形状，并说明理由；
（3）若正方形的边长为4，设CP=x，AE=y ，求y与x的关系式．

【推荐2】综合与实践课上，数学老师准备了下面数学活动供同学们探究：
【问题提出】如图①，和都是等腰直角三角形，，点D在上，求证：，通过连接，得，，从而得出为直角三角形，使问题得证．
【问题深入】 如图②，四边形和四边形都是正方形，点D在对角线上，若，求正方形的面积．
【问题拓展】如图③，和都是等边三角形，点A在上，连接，则
_______ º；若，则的面积为_______
   

【推荐3】已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.

(1)求证：BH=GH；
(2)求BH的长．

【推荐1】小茗同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形．

(1)当在上时，连接相交于点P，小茗发现点P恰为的中点，如图①．
①针对小茗发现的结论，请给出证明；
②小茗继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②．请证明小茗发现的结论，再进一步判断的形状，并说明理由；
(2)当不在上时，如图③，连接，点P是中点，连接，，的形状是否发生改变？请说明理由．

【推荐2】如图，在正方形中，点在边上（不与端点重合），是由绕点顺时针旋转得到的，连接交于点，过点作，垂足为，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．

【推荐3】把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．

（1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ；
（2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长．