【推荐1】如图所示，BD平分．

(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线MN，MN交AB于点M，交BD于O，交BC于点N；（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的情况下，连接MD、ND，猜想四边形BMND是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．

【推荐2】已知：是的对角线．

(1)用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的周长．

【推荐3】如图，已知线段，，垂足为．

(1)求作四边形，使得点、分别在射线、上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，是的直径，C，D 是上的点，连接 并延长交于点E，交于点F，且，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求 的长

【推荐2】如图，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆上一点，，延长，相交于点M．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：．

【推荐3】如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．

   

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐1】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．

【推荐2】已知：．
求作：，使与，所在直线都相切，且与的切点为点．

【推荐3】如图，在的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中，圆过格点，，请作出圆心；
（2）在图2中，⊙的两条弦，请作一个圆周角．

【推荐1】如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆．

(1)当时，的半径是________，与直线的位置关系是________；
(2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形各边相切时，求t的值；
(3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是________．

【推荐2】如图，在中，、分别为、边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．

【推荐3】如图，在阳光明媚的一天，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度，在某一时刻，亭子顶端的影子位于点处，亮亮站在点处，同—时刻，他的影长为3米，他在点处测得亭子顶端的仰角为，已知亮亮的身高米，米，于点，于点，且点在同一条水平直线上，求亭子的高．（结果保留一位小数．参考数据：，，）