【推荐1】在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．

【推荐2】如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为　 　°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为　 　；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
   

【推荐3】已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

【推荐1】提出问题：如图1，在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段、、之间存在怎样的数量关系？

探究问题：
（1）先将问题特殊化，如图2，当点、重合时，直接写出一个等式，表示线段、、之间的数量关系；

（2）再探究一般情形，如图1，当点、不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
解决问题：
（3）如图3，在中，，．若，记，，，补充并探究图形，直接写出、、之间的数量关系．

【推荐2】已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
   
(1)如图①，若点在线段上，且，则：
①线段____________，____________；
②猜想：三者之间的数量关系为______________；（提示：连接）
(2)如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点在线段上，满足，求的值．

【推荐3】如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．
   
(1)如图，当时，
①求的度数；
②若，求的值．
(2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．

【推荐1】阅读理解
（一）阅读与思考：
通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例如，
解一元二次方程．
解⇒⇒⇒或．
∴或．
（二）解决问题：
如图1，矩形中，，，点G在上，且，点P以1单位每秒的速度在边上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．
       
(1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求时x的值；
(2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由；
(3)如图2，M，N分别是，的中点，线段所扫过的图形是什么形状             ，并直接写出它的面积             ．

【推荐2】如图，直线与x轴，y轴分别交于点和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
   
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过x轴上的点作平行于y轴的直线l（），分别与直线和双曲线交于P、Q两点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，在直线上寻求一点M，使的值最小；在直线上寻求点N，使的值最大，请求出的长度．

【推荐3】如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、．
（1）如图1，若，，求平行四边形的面积：
（2）如图2，若，求证：．

【推荐1】如图，在 Rt△POQ中，OP=OQ=4，M 是 PQ中点，把一个三角尺顶点放在点M处，以M为旋转心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与 Rt△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）探究：在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否发生变化？为什么？
（3）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值．

【推荐2】问题提出：
             
（1）如图1，点A为线段外一动点，且，，填空：当__________时，线段的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）．
问题探究：
（2）点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段长的最大值．
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点P的坐标．

【推荐3】问题情境：中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接．

特例分析
（1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②用等式表示线段与之间的数量关系为：________；
拓展探究
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，的值为________；
推广应用
（4）当点在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示）