如图，抛物线
上的点A，C坐标分别为
，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M坐标为
，连接
．
(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；
(2)点D是线段
（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线
于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与
相似，则点Q的坐标为 ；
(3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点
，点C的对应点为点
，在抛物线平移过程中，当
的值最小时，请直接写出新抛物线的顶点坐标为及 的最小值为 ．
上的点A，C坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M坐标为，连接．(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；
(2)点D是线段
（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则点Q的坐标为 ；(3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点
，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，请直接写出新抛物线的顶点坐标为及 的最小值为 ．
更新时间：2023/12/19 18:23:31
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名校
【推荐1】抛物线
过
，
，
三点．
(2)如图①，抛物线上一点
在线段
的上方，
交于点
，
，求点的坐标；
(3)如图②，
为抛物线顶点，过
作直线
，点
在
轴上运动，是否存在这样的点
、，使得以
、、为顶点的三角形与
相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
过，，三点．
(2)如图①，抛物线上一点
在线段的上方，交于点，，求点的坐标；(3)如图②，
为抛物线顶点，过作直线，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
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【推荐2】如图，二次函数
的图象交轴于、两点，交
轴于点
，顶点为点，经过、两点的直线为
．
(2)是直线下方抛物线上一动点，
的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点
，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．
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是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点
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【推荐1】（2016江苏省南京市）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
(1)把函数
的图象上各点的纵坐标变为原来的______倍，横坐标不变，得到函数
的图象；也可以把函数的图象上各点的横坐标变为原来的______倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数
的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；
（Ⅱ）为了得到函数
的图象，可以把函数
的图象上所有的点 ．
A. ①→⑤→③ B. ①→⑥→③ C. ①→②→⑥ D. ①→③→⑥
(3)函数的图象可以经过怎样的变化得到函数
的图象？（写出一种即可）
倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．
(1)把函数
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个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数
的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；（Ⅱ）为了得到函数
的图象，可以把函数的图象上所有的点 ．A. ①→⑤→③ B. ①→⑥→③ C. ①→②→⑥ D. ①→③→⑥
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的图象可以经过怎样的变化得到函数的图象？（写出一种即可）
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
(1)求点M、A、B坐标；
(2)连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
(1)求点M、A、B坐标；
(2)连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
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【推荐3】【项目式学习】
项目主题：数学眼光仪式设计
项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．
任务一 测量建模
（1）如图1，研习小组测得表演场地宽度
米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度
，
都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段
所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
任务三 创意设计
（3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为
且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为
米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______．
项目主题：数学眼光仪式设计
项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．
任务一 测量建模
（1）如图1，研习小组测得表演场地宽度
米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
任务三 创意设计
（3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为
且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】在矩形
中，
，
，点是边上的一点，
交
于点，点
在射线上且满足
．
；
(2)如图2，当点在线段上，联结
，
，求
的长；
(3)联结，如果
与以、、为顶点所组成的三角形相似，求
的长．
中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足．
；(2)如图2，当点
在线段上，联结，，求的长；(3)联结
，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答：
如图，在矩形中，，
，边绕点A顺时针旋转
得到
，作
平分
交
于点P，连接
．
(1)初步探究
①如图1，若
垂直平分，分别交，于点G，H，当
落在上时，
______，
的长度为______．
②如图2，当落在对角线上时，点到的距离为______．
(2)深入探究
如图3，若
，请用含x的代数式表示
的值．
(3)拓展探究
若与矩形的对角线垂直，请直接写出
的长．
如图，在矩形
中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点P，连接．(1)初步探究
①如图1，若
垂直平分，分别交，于点G，H，当落在上时，______，的长度为______．②如图2，当
落在对角线上时，点到的距离为______．(2)深入探究
如图3，若
，请用含x的代数式表示的值．(3)拓展探究
若
与矩形的对角线垂直，请直接写出的长．
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，
的直径，C在
，连接
，
于点E．
，
的面积分别为
，
，
，若
，求
的值；
，
，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】如图,已知二次函数
的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、．求证：平分
；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标．
的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点．（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、
．求证：平分；（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线
与x轴交于点
，与y轴交于点
，抛物线
经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)请判断
的形状，并说明理由；
(3)若点D为直线
上方抛物线上的一个动点，
①连接
交于点E，求
的最大值：
②过点D作x轴的垂线交于点P，交x轴于点Q，若点F是
的中点，是否存在以点B，D，P为顶点的三角形与
相似，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式；
(2)请判断
的形状，并说明理由；(3)若点D为直线
上方抛物线上的一个动点，①连接
交于点E，求的最大值：②过点D作x轴的垂线交
于点P，交x轴于点Q，若点F是的中点，是否存在以点B，D，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
您最近一年使用：0次
的两边在坐标轴上，点A的坐标为
，抛物线
过点B，C两点，且与x轴的一个交点为
，点P是线段CB上的动点，设
（
）．
，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，
和
中的一个角相等？
BQ，交CQ于点M，作PN
为正方形时，求t的值．
