【推荐1】如图，中的平分线交外接圆于点D，点M为边的中点．
   
(1)求证：．
(2)若，，．求的值；
(3)作的平分线交于点P，连接，若将线段绕点M旋转后，点P的对应点恰好落在的外接圆上，求的正切值．

【推荐2】如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
   
(1)在方格纸中画出以为底的等腰，点在小正方形的顶点上；的面积为；
(2)在方格纸中画出以为一边的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为5，连接，直接写出的长度．

【推荐3】已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．

(1)求证：BF＝DP；
(2)若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
(3)求证：CP＝BM+2FN．

【推荐1】如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

(1)求证：；
(2)当时，求的长．

【推荐2】如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．

(1)求证：．
(2)若弧，求的度数．
(3)过点D作于点F，若，，求DF的长．

【推荐3】如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，求此光盘的直径．

【推荐2】如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点．
   
(1)求弦的长；
(2)求弦的长．

【推荐3】如图，中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点E，F，连接，过点F作，垂足为G．

(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为，若，求的长．

【推荐1】【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°.求
（1）⊙D的半径；
（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

【推荐3】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC，延长AB交CF于点D．
（1）求证：直线CF是半圆O的切线；
（2）若BD=5，CD=，求的长．