【推荐1】小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题：
，，，…
(1)请写出第15个式子：___________；
(2)请用含的式子表示第个式子：___________；
(3)计算：；
(4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：．

【推荐2】如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．
（1）填表

（2）如果剪了次，共剪出多少个小正方形？
（3）能否经过若干次分割后共得到2014片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由．
（4）若将所给的正方形纸片剪成若干个小正方形（其大小可以不一样），那么你认为可以将它剪成六个小正方形吗？八个小正方形呢？如果可以，请在下图中画出剪割线的示意图；如果不可以，请简单说明理由．

【推荐3】【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   
第3个等式： ； …
【规律应用】
(1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）：
(2)根据以上的规律直接写出结果： _________²；
(3)若 与的差为， 求n的值．

【推荐1】先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．

【推荐2】【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）=6=2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）=12=3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）=20=4×5张正方形纸片；
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
【规律归纳】（1）第（6）个图形中有             张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+…+n=             （用含n的代数式表示）；
【规律应用】根据你的发现计算：121+122+123+…+400．

【推荐3】有规律排列的一列数：1，－2，3，－4，5，－6， 7，－8，…，
（1）这列数中第15个数是多少？   这列数中第100个数是多少？
（2）这列数的第n个数是多少？

【推荐1】下图是由一些火柴棒搭成的图案：

（1）摆第①个图案用      根火柴棒，摆第②个图案用      根火柴棒，摆第③个图案用      根火柴棒．
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒？
（3）计算一下摆121根火柴棒时，是第几个图案？

【推荐2】下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形，以此类推……

根据上面规律，
(1)第（5）个图案中有______个正方形；
(2)第n个图案中有______个正方形；
(3)小明同学说照此规律搭成的图案中，能得到2022个正方形，你认为他的结论正确吗？并说明理由．

【推荐3】实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10人）．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红、黄、白、……m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化．
探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图①）；
（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少．需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）
（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图③）；
……
（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是________；
（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出       个小球．
探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出______个小球；
（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出______个小球；
（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出_____个小球；
（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出_____个小球；
探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是______．
探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是________；
问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取名学生．