【推荐1】为角平分线上的一点，和分别在和上，且，，试探究与的关系，并给予证明．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB和BC上的点．把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B对应点是点B′
（1）如图1，点B′恰好落在线段AC的中点处，求CE的长；
（2）如图2，点B′落在线段AC上，当BD=BE时，求B′C的长；
（3）如图3，E是BC的中点，直接写出AB′的最小值．

【推荐3】如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线上移动，另一边交于Q．

(1)如图1，当点Q在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作于E点，于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明，可得出结论，他的结论应是______________；并证明该结论．
(2)如图2，当点Q落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．

【推荐1】如图，已知△ABC．

（1）画出△ABC的高AD；
（2）尺规作出△ABC的角平分线BE（要求保留作图痕迹，不用证明）．

【推荐2】如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a ；
（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过O作EFBC分别交AB、AC于E、F.
（1）求证：EF=BE+CF.
（2）在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB相邻的外角的平分线相交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F，请你画出图形（不要求尺规作图），并直接写出EF、BE、CF之间的关系.

【推荐1】为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心．在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等．

（1）根据上述建议，试在图（1）中画出体育中心G的位置；
（2）如果这三个城镇的位置如图（2）所示，是一个钝角，那么根据上述建议，体育中心G应在什么位置？
（3）你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？

【推荐2】如图，中，，直线垂直平分.

（1）在直线上求一点，使点到，的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数.

【推荐3】A、B两个村庄位于小河的同侧，如图为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A、B两村距离相等，请你找出适合挖井的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

【推荐1】如图，是的直径，是的切线，交于点C．

(1)如图1，用无刻度的直尺和圆规在边上作点D，使；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，的对角线，交于点O，

(1)用尺规完成以下基本作图：过O点作AC的垂线分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问的条件下，连接，，求证：四边形为菱形
并将下面的证明过程补充完整
证明：∵
∴
∴___________①___________
∴
在和中

，
∴___________③___________
∵
∴四边形为平行四边形
∵___________④___________
∴四边形为菱形

【推荐3】如图，已知锐角中，．
   
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，的半径为5，求的长．（如需画草图，请使用图2）