【推荐1】如图，四边形中，，连接，．

(1)如图（1），若，证明：．
(2)如图（2），平分，证明：．

【推荐2】已知：在中，于点．

   

(1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，若，，，则______．

【推荐3】已知，如图，在中，，，点是的中点，点是边上一点．⊥于点，BF交于点．

(1)若，则_____度
(2)求证：；
(3)如图2，，垂足为点，的延长线交的延长线于点，请找出图中与相等的线段，并证明．

【推荐1】在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，MPN=90°，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．

（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求AP的长；
（3）当△DPC的面积等于△AEP面积的2倍时，求tan∠APE的值．