【推荐3】（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______；

（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．

【推荐1】【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________．

【推荐2】已知，在中，，，，垂足为点，且，连接.
（1）如图①，求证：是等边三角形；
   
（2）如图①，若点、分别为，上的点，且，求证：；
（3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明.
   

【推荐3】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弓形的面积（结果保留）；
(3)若，，求的长．

【推荐2】如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，直线BE⊥AC于点E，线段AB的中垂线交AB、BE、BC延长线分别于D、O、F三点，过点F作FG//AB交AC延长线于点G，以O为圆心，OB为半径作圆．
（1）求证：GF是圆O的切线；
（2）若AE：EC＝4：1，BC＝2，求CF的长．

【推荐3】如图，在中，，的平分线交于，过点作交于，以为直径作．

(1)求证：点在上；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的面积．

【推荐1】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E为边AC上一点，以AE为斜边，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE=90°，且DE=DA．现将△ADE绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BE．

(1)如图2，当α=15°且BE∥AD时，求BE的长；
(2)连接CE，设CE的中点为点F，AE的中点为点H，连接DF，直线DF与线段BE交于点G，连接GH．
①求证：DF⊥BE；
②探索线段GH，GD，GE之间的数量关系．

【推荐2】已知：如图，点是上一点，与相交于A、D两点，，垂足为D，分别交、于B、C两点，延长交于E，交延长线于F，交于G，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)若，且线段的长是关于x的方程的两个实数根，求的长．

【推荐3】如图1，点是的内部一点，连接、和，如果、和中有两个角相等，则称是的“等心”．特别地，若这三个角都相等，则称是的“恒等心”．
   
（1）在等边中，点是恒等心，，则点到的距离是_______；
（2）如图2，在中，，点是的外接圆外一点，连接，交于点，试判断是不是的“等心”，并说明理由；
（3）如图3，分别以锐角的边、为边向外作等边和等边，和相交于点，求证：点是的“恒等心”．