小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后,想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立.他先根据命题画出图形,并用符号表示已知,求证.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,先作出一个过三个顶点的,再证明第四个顶点也在上.
具体过程如下:
步骤一 作出过三点的.
如图1,分别作出线段的垂直平分线,
设它们的交点为,以为圆心,的长为半径作.
连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
步骤二 用反证法证明点也在上.
假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在外.
综上所述,点在上.
点在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
(2)填推理依据:①______,②______,③______.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
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连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
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假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
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(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
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更新时间:2024-01-13 23:32:59
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【推荐1】如图(1),在△OBC中,点A是BO延长线上的一点,
(1) , Q是BC边上一点,连结AQ交OC边于点P,如图(2),若= .猜测:的大小关系是 ;
(2)将图(2)中的CO延长到点D,AQ延长到点E,连结DE,得到图(3),则等于图中哪三个角的和?并说明理由;
(3)求图(3)中的度数.
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已知:在四边形中,
求证:过点、、、可作一个圆.
证明:假设过点、、、四点不能作一个圆,设过点、、三点作出的圆为.分两种情况讨论.
①如图(),若点在内.延长交于点,连接.
是的外角,
.
,,
,与矛盾,
②如图(),若点在外.设交于点,连接.
是的外角,
.
,,
,与矛盾.
综上可知,假设不成立,故过点、、、可作一个圆.
学习任务:
(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______.
(2)应用上述结论,解决以下问题:
如图(3),在四边形中,,对角线,交于点.
①若,求的度数;
②若,,求的长.
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①,
②,
③,
④,
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完成下列问题:
(1)照上面的规律,算式⑤为________;
(2)上述算式的规律可以用文字概括为:“两个连续奇数的平方差能被8整除”,若记算式中的前一个奇数为,请用含的式子表示这个规律,并证明;
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确.
①,
②,
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……
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