【推荐1】综合与实践
操作判断

（1）操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点，连接．操作发现（提示：交于点），与的位置关系是______；与的数量关系是______．
（2）操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．

【推荐2】如图所示，传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确地落在河对岸的敌军阵地，将军站在河这岸，将帽檐压低，使视线沿着帽檐恰好落在河对岸的边线上，然后他向后退(保证B′、B、C在一条直线上)，一直退到视线落在河这岸的边线上为止，这时，他后退的距离就等于河宽，这是为什么？请给予证明．

【推荐3】如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将正三角形的一个顶点P放在射
线OM上，两边分别与OA、OB交于点C、D．
(1)如图①若边PC和OA垂直，那么线段PC和PD相等吗？为什么？
(2)如图②将正三角形绕P点转过一角度，设两边与OA、OB分别交于C'，D'，那么线段PC'
和PD'相等吗？为什么？

【推荐1】已知：在中，，，点为直线上一动点（点不与、重合）．以为边作正方形，连接．

(1)如图，当点在线段上时，求证：
①；
②．
(2)如图，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变：
①请直接写出、、三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．

【推荐3】【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由；

【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为            度．

【推荐1】已知：如图，，，，且平分，求证：是等边三角形．

   

【推荐2】分解因式，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知的三边a，b，c满足，判断的形状．

【推荐3】已知⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；
（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．