探究性学习
(1)【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在
中，
．点D在外，连接
，且
．过A作
于点E．求证：
．
上截取
，连接
，将线段
之间的数量关系转化为线段
与
之间的数量关系．
于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作
交
延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段
与
之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，
是等腰直角三角形，其中
是边上的中线，连接交
与点F．求证：
．
如图，在中，
，点D在
边上，过B作
交延长线于点E，延长
至点F，连接
，使
，连接交于点G，若
， 
，求
的面积．
(1)【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在
中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．
上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，
为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．
如图，在
中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．
更新时间：2024-01-17 23:46:25
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困难
(0.15)
【推荐1】已知为等边三角形，D为
的中点，点E，F分别在
上，连接
．
(1)如图1，若
，求的长；
(2)如图2，点G在上，连接
交于点H，若
，求证： 
；
(3)如图3，若
，点P在直线上，连接
，将
沿着
翻折至 所在的平面内，得到
，连接
，取
的中点T，连接
，当取最大时，求
的面积．
为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在上，连接． (1)如图1，若
，求的长；(2)如图2，点G在
上，连接交于点H，若，求证： ；(3)如图3，若
，点P在直线上，连接，将沿着翻折至 所在的平面内，得到，连接，取的中点T，连接，当取最大时，求的面积．
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【推荐2】如图，在锐角中，
，点
，
分别是边，
上一动点，连接交于点
．
(1)如图1，若平分
，平分
，求
的度数；
(2)如图2，若
，且
，
，求的度数；
(3)如图3，若，且
，在平面内将线段绕点
顺时针方向旋转
得到线段
，连接
，点
是的中点，连接
．在点，运动过程中，猜想线段
，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
中，，点，分别是边，上一动点，连接交于点． (1)如图1，若
平分，平分，求的度数；(2)如图2，若
，且，，求的度数；(3)如图3，若
，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
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中，
，
，
，
，则
，
，
，
米，
，
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【推荐1】在矩形
中，
，为
上一点，将
沿
折叠，得到
．
(1)如图1，若点恰好在
边上，点
在
上，且
，连接
．求证：
；
(2)如图
，若点在矩形内部，延长
交边于点
，延长
交边于点
，且
，
，求证：
；
(3)若
，过点作
，垂足为
，交于点
，若
，求
关于
的函数关系式．
中，，为上一点，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点
恰好在边上，点在上，且，连接．求证：；(2)如图
，若点在矩形内部，延长交边于点，延长交边于点，且，，求证：；(3)若
，过点作，垂足为，交于点，若，求关于的函数关系式．
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【推荐2】（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为 ；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
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【推荐1】【探究发现】如图1，正方形
的对角线交于点
，是
边上一点，作
交于点．学习小队发现，不论点在边上运动过程中，
与
恒全等，请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点，
，是
延长线上一点，将
绕点逆时针旋转得到
，点恰好落在
的延长线上，求
的值；
【拓展提升】如图3，等腰中，，
，
，点是边上一点，以为边在的上方作等边
，连接，取的中点，连接
，当
时，直接写出的长．
的对角线交于点，是边上一点，作交于点．学习小队发现，不论点在边上运动过程中，与恒全等，请你证明这个结论；【类比迁移】如图2，矩形
的对角线交于点，，是延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，求的值；【拓展提升】如图3，等腰
中，，，，点是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点，连接，当时，直接写出的长．
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，P为异于点F的任意一点，求证：
．点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线
向终点
、
，设点
（秒）．
与
角所对的直角边等于斜边的一半）
