【推荐1】如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．

（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是            ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．

【推荐2】问题情境：
   
(1)如图1，已知，求证：；（过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程）
尝试运用：
(2)如图2，若，且经过A点，，求的度数；
拓广探索：
(3)如图3，在中，点D是延长线上的一点，点M是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，与交于点F，若，求的度数．

【推荐3】【理解新知】
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”．
【解决问题】
如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为．

(1)如图①，角的平分线　 　这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若，射线为的“2倍角线”，则　 　．
(3)如图②，当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值；
(4)如图②，若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于的角）．

【推荐1】如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．
（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．
（2）引申：如果∠C90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．

【推荐2】如图1，在菱形中，分别在上，平分．
   
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，若，求证：点在上；
   
（3）在（2）的条件下，，在上取一点，连接，，求的长．
   

【推荐3】如图，在边长为的正方形中，点在边上移动（不与端点重合）．连接，以为一边在其右侧作，其中，，点为的中点，过点作，垂足为点，连接，，．
   
(1)求证：；
(2)请判断线段和之间有何关系？写出你的结论并证明；

【推荐1】已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接．

(1)如图1，点O在线段上，
①求证：；
②直接用等式表示线段、、之间的数量关系：　 　；
(2)若点O在线段的上方，连接、，且满足．请在图中补全图形，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？

【推荐3】如图1，在中，点在边上，．
   
(1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的；
(2)利用中画出的图形，求证：；
(3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明．

【推荐2】如图，在正方形中，E是上的一点（不与端点A，B重合），连接，过点A作的垂线，分别交、于点F、H．在上取点G，使得，连接，．
   
(1)求证：；
(2)①若，则　     　°；
②改变的度数，的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出与之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
(3)若，求的长．