【推荐2】在中，，，过点作直线，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．
(1)如图1，连接，当时，请直接写出线段与之间的数量关系；

(2)如图2，当点在射线上时，求证：；
   
(3)若，，请直接写出线段的长．
   

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．

(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．

【推荐1】如图，矩形的对角线交于点．点在边上，连结交对角线于点是线段的中点，连结．

（1）求证：．
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
（3）若和面积分别为和，求的最大值．

【推荐2】如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．
(1)直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径；
(2)求抛物线 的焦点坐标及其直径；
(3)已知抛物线的直径为 ，求a的值；
(4)①已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值；
②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．
   

【推荐3】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，过对角线AC中点O的直线分别交BC、AD边于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当四边形AECF是菱形时，求AF的长．

【推荐1】如图，是等腰直角三角形，，四边形是正方形，点、分别在边、上，此时，成立．
当绕点逆时针旋转时，如图，成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
当绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：．

【推荐2】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE(ABAE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．
   
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=．
①求BE的长；
②求点A到BE的距离；
（3）当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．

【推荐3】在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上．请用无刻度的直尺，按下列要求画图．

(1)如图①，画出一个以AB为一边的正方形ABCD；
(2)如图②，画出一个以AB为一边的菱形（不是正方形）；
(3)如图③，点E，F在格点上，AB与EF交于点G，画出一个以AG为一边的矩形；
(4)如图③，在AB上画点H，使．

【推荐2】在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．已知，．

(1)若点F恰好在AD上；
①如图1，过点F作交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
②如图2，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N．请猜想NF与BC的关系，并说明理由；
(2)如图3，若点F不在AD上，的角平分线交EF的延长线于点M，点E从点C运动到点D的过程中，直接写出点M运动的路径长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的一个动点，是线段的中点．把线段进行以为旋转中心、向顺时针方向旋转的旋转变换得到过作轴的垂线、过点作轴的垂线，两直线交于点，直线交轴于一点设点的横坐标为，

(1)若，则点的坐标为___________，若，则点的坐标为___________；
(2)若的面积为，则为何值时，？
(3)是否存在，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．