【推荐1】如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．
（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？
（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．

【推荐2】下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．

(1)根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．
(2)第个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含的式子表示，为正整数）
(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由．

【推荐3】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示）
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q．
(4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长．

【推荐1】如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，与相交于点M．．

(1)求证：；
(2)求证：．

【推荐2】如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，点和分别在边，上，连接，求证：四边形是菱形．

【推荐3】如图，和都是等腰三角形，且，，点B、C、D在同一条直线上；试说明：；