【推荐1】如图，在平行四边形中，O是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．

   

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如果，求证：四边形为矩形．

【推荐2】【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．

【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝　 　．

【推荐3】如图，△ABC中，∠B=2∠C，E为BC上一点，且到A、C两点的距离相等．

(1)尺规作图：作出点 E的位置（保留作图痕迹）；
(2)连接 AE，求证：AB=AE．

【推荐1】已知:如图,在半径为的半圆中,半径垂直于直径,点与点分别在弦,上滑动并保持,但点不与,重合,点不与,重合．

(1)求四边形的面积．
(2)设,,写出与之间的函数关系式,求的取值范围．

【推荐2】如图，等边中，在边延长线上一点，延长至，使，于，求证：．

【推荐3】如图，已知等边△ABC，延长△ABC的各边分别到点D、E、F使得AE＝BF＝CD，顺次连接D、E、F，求证：△DEF是等边三角形．

【推荐1】如图，在中，．
   
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，过点D作，垂足为H，若，求的面积．

【推荐2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：EB⊥AB；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．

【推荐3】已知：如图，在中，，，试求和的度数．

【推荐1】已知：如图，矩形的对角线相交于点O，将线段绕点A逆时针旋转一定角度到，连接，点F为的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，且平分，求．

【推荐2】将两块大小相同的含角的直角三角板（）按图①的方式放置，固定三角板，然后将三角板绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于）至图②所示的位置，与交于点E，与交于点F，与交于点O．
（1）求证：；
（2）当旋转角等于时，与垂直吗？请说明理由．

【推荐3】如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？