数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美结合.通过研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如:数轴上点A和点B表示的数为a,b,则A,B两点之间的距离.若点A表示的数a为最大的负整数,点B表示的数b在原点右侧,且绝对值为6,则
(1)点A表示的数a为______,点B表示的数b为______,数轴上A,B两点之间的距离为______;
(2)满足的实数x的值为______;
(3)的最小值为______;
(4)满足的实数x的值为______;
(5)若正实数c满足,则当x的值为______时,取到最小值______.
(1)点A表示的数a为______,点B表示的数b为______,数轴上A,B两点之间的距离为______;
(2)满足的实数x的值为______;
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(5)若正实数c满足,则当x的值为______时,取到最小值______.
更新时间:2024-02-24 13:17:49
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解题方法
【推荐1】若互为相反数,互为倒数,且的立方等于它本身.
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若试讨论:当为有理数时,是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
若,且,求的值.
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【推荐2】【阅读】若点,在数轴上分别表示有理数,,,两点之间的距离表示为,则,即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
(1)点,表示的数分别为,2,则_______,在数轴上可以理解为______;
(2)若,则_________,若,则________;
【应用】
(3)如图,数轴上表示点的点位于和2之间,求的值;
(4)由以上的探索猜想,对于任意有理数,是否有最小值?如果有,求出最小值,并写出此时x的值;如果没有,说明理由.
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【推荐3】【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美的结合,研究数轴我们发现了许多重要的规律:数轴上A点、B点表示的数为a、b,则A,B两点之间的距离,若,则可化简为.
(1)已知数轴上有A、B两点,分别表示的数为,8,那么A、B两点的距离为 ;
【问题探究】为求代数式的最小值,可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离,看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离,并进行以下讨论:
当x在和3中间时,;
当x在-1左边时有,;
当x在3右边时也有;
综上所述,代数式最小值为4;
(2)的最小值为 ;
【方法应用】:
(3)已知,则 ;
【迁移应用】:
(4)若m,n为整数,且m,n满足,则当 , ,的最大值为 .
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当x在和3中间时,;
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当x在3右边时也有;
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【推荐1】对于平面直角坐标系中的点,若点的坐标为(其中k为常数,且),则称点为点P的“k系好友点”;例如:的“3系好友点”为,即.
请完成下列各题.
(1)点的“2系好友点”的坐标为______________;
(2)若点P在y轴的正半轴上,点P的“k系好友点”为点,若在中,,求k的值;
(3)已知点在第四象限,且满足;点A是点的“系好友点”,求的值.
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【推荐2】如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,正方形的、边分别在轴、轴上,其中,为射线 上一动点,以为边向右作正方形(整个正方形位于直线的右侧).
(2)当点是线段的中点时,点的坐标为________;(直接写出结果,不用写解题过程)
(3)连接,当时,求此时点的坐标.
(1)求、两点所在的直线解析式;
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【推荐1】【算一算】
如图①,点A、B、C在数轴上,B为AC的中点,点A表示﹣3,点B表示1,则点C表示的数为 ,AC长等于 ;
【找一找】
如图②,点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点A、B分别表示实数﹣1、+1,Q是AB的中点,则点 是这个数轴的原点;
【画一画】
如图③,点A、B分别表示实数c﹣n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【用一用】
学校设置了若干个测温通道,学生进校都应测量体温,已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题:假设现在校门口有m个学生,每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道,那么用4分钟可使校门口的学生全部进校;如果开放4个通道,那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下,a、m、b会有怎样的数量关系呢?
爱思考的小华想到了数轴,如图④,他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b),用点A表示;将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数,即校门口减少的人数8a记作﹣8a,用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、﹣12a的点F、G,并写出+(m+2b)的实际意义;
②写出a、m的数量关系: .
如图①,点A、B、C在数轴上,B为AC的中点,点A表示﹣3,点B表示1,则点C表示的数为 ,AC长等于 ;
【找一找】
如图②,点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点A、B分别表示实数﹣1、+1,Q是AB的中点,则点 是这个数轴的原点;
【画一画】
如图③,点A、B分别表示实数c﹣n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【用一用】
学校设置了若干个测温通道,学生进校都应测量体温,已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题:假设现在校门口有m个学生,每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道,那么用4分钟可使校门口的学生全部进校;如果开放4个通道,那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下,a、m、b会有怎样的数量关系呢?
爱思考的小华想到了数轴,如图④,他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b),用点A表示;将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数,即校门口减少的人数8a记作﹣8a,用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、﹣12a的点F、G,并写出+(m+2b)的实际意义;
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【推荐2】如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示,设点B所表示的数为m.(1) ______.
(2)求的值;
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有与互为相反数,求的平方跟.
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【推荐3】如图1,将数轴在处左边部分逆时针旋转,再将处下方部分逆时针旋转,最后将右边部分逆时针旋转,得到如图1的“打结数轴”.
(1)在“打结数轴”上,与数字0重合的数是_____;
(2)如图2,对应的点为B,以O为圆心,长为半径画圆,与“打结数轴”的交点为D、E.使得点D、E与原点O的距离相等.且D、E表示的数分别为a、b.则
① a、b是_______(填有理数或无理数);
② a_____1.5.(填“>”“=”“<”).
③_______.
(3)如图3,在“打结数轴”上,点P表示的数是,有两只电子蚂蚁甲和乙,甲从点P出发,向下运动到点C后,立即返回向上运动,速度为每秒2个单位,乙从原点O出发,沿数轴正方向运动,速度为每秒1个单位.电子蚂蚁甲和乙在“打结数轴”上的对应的数为m、n.若电子蚂蚁甲和乙同时出发,运动时间为t秒.问:为何值时,.
(1)在“打结数轴”上,与数字0重合的数是_____;
(2)如图2,对应的点为B,以O为圆心,长为半径画圆,与“打结数轴”的交点为D、E.使得点D、E与原点O的距离相等.且D、E表示的数分别为a、b.则
① a、b是_______(填有理数或无理数);
② a_____1.5.(填“>”“=”“<”).
③_______.
(3)如图3,在“打结数轴”上,点P表示的数是,有两只电子蚂蚁甲和乙,甲从点P出发,向下运动到点C后,立即返回向上运动,速度为每秒2个单位,乙从原点O出发,沿数轴正方向运动,速度为每秒1个单位.电子蚂蚁甲和乙在“打结数轴”上的对应的数为m、n.若电子蚂蚁甲和乙同时出发,运动时间为t秒.问:为何值时,.
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【推荐1】如图,四边形ABCD是正方形,点P在射线AC上,点E在射线BC上,且PB=PE,连结PD,点O为线段AC中点.
(1)【感知】如图①,当点P在线段AO上时,
①易证:△ABP≌△ADP(不需要证明).进而得到PE与PD的数量关系是 .
②过点P作PM⊥CD于点M,PN⊥BC于点N,易证:Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明).进而得到PE与PD的位置关系是 .
(2)【探究】如图②,当点P在线段OC上(点P不与点O、C重合)时,试写出PE与PD的数量关系和位置关系,并说明理由.
(3)【应用】如图③,当点P在线段AC的延长线上时,直接写出当AB=3,CP=时线段DE的长.
(1)【感知】如图①,当点P在线段AO上时,
①易证:△ABP≌△ADP(不需要证明).进而得到PE与PD的数量关系是 .
②过点P作PM⊥CD于点M,PN⊥BC于点N,易证:Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明).进而得到PE与PD的位置关系是 .
(2)【探究】如图②,当点P在线段OC上(点P不与点O、C重合)时,试写出PE与PD的数量关系和位置关系,并说明理由.
(3)【应用】如图③,当点P在线段AC的延长线上时,直接写出当AB=3,CP=时线段DE的长.
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