【推荐1】如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接、，与相交于点，且．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．

【推荐2】阅读与思考
下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题
在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．
例：如图1，D是内的点，且平分，，连接．若的面积是10，求图中阴影部分的面积．
   
该问题的解答过程如下：
解：如图2，延长交于点E．
   
∵平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，

∴．
∴（依据*），．
任务：
(1)上述解答过程中的“依据*”是指        ；
(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
(3)如图3，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E，连接．若，请直接写出的长．
   

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于点F．
（1）求BF；
（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）连接AP，不添加辅助线，试证明△AEP≌△FBP，直接写出一种经过两次变换的方法使得△AEP与△FBP重合．

【推荐2】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且tan∠DAE=，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．

(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长；
(3)求sin∠FCE的值．

【推荐3】如图点A（a，0）在x轴负半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，点C（0，c）在y轴正半轴，且．
（1）如图1，求S_△ABC；
（2）如图2，若点D（0，5），BD的延长线交AC于E，求∠AEB；
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段BA绕点B逆时针旋转90°至线段BF，连接EF，试探究EA，EB，EF之间有怎样的数量关系，并证明．

【推荐1】如图，矩形中，．是边上一动点（不与点重合），延长到，使，，交于点，连接并延长交于点．

(1)若，求证：；
(2)探究：当点运动时，点的位置是否发生变化？请说明理由；

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，∠BAD 的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．

【推荐3】在平面直角坐标系中，矩形的坐标分别为点，点，点，点，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称图形，设点的运动时间为．

       

(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，若点恰好落在上时，求点的坐标；
(3)是否存在异于图②的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的值？若不存在，请说明理由．

【推荐1】【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；
小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”．
小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．

【推荐2】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．

(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．

【推荐3】在平面直角坐标系中，O为原点，点，点绕点B顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
   
(1)如图①，，边上的一点M旋转后的对应点为N，当时，点N的坐标为_____；
(2)在（1）的条件下，当取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标；
(3)如图③，P为上一点，且，连接，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．