【推荐1】【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．

【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，，求的度数；
   
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
   
【问题拓展】
（4）如图4，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
   

【推荐2】【学习心得】
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则．

(1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数；
(2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)【问题拓展】
①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．

②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长．

【推荐3】如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两个不同的点、，与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．

（1）求与y轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果AB恰好为的直径，且△ABC的面积等于，求m和k的值．

【推荐1】阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下： 证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ……

任务：
(1)补全证明过程，
(2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________．

【推荐3】如图，在中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，连接，，半径交于点F，交于点G，连接交于点N．

(1)求证：；
(2)若，，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的长．

【推荐1】【判断】如图1，连接， ______．（，，）
【问题解决】
如图2，在平面直角坐标系中，，，直线：，连接，，求的最大值；
【拓展应用】
学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度，请你协助小明完成计算，直接写出答案．

【推荐2】已知：如图，∠C=90°，内切圆O分别与BC、AC相切于点D、 E， 判断四边形ODCE的形状，并说明理由．

【推荐3】在⊙O中，半径OA丄OB，点D在OA或OA的延长线上（不与点O，A重合），直线BD交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交直线OA于点P.
（1）如图（1），点D在线段OA上，若∠OBC=15°， 求∠OPC的大小；
（2）如图（2），点D在OA的延长线上，若∠OBC=65°，求∠OPC的大小.
   

【推荐1】如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，于点．

   

(1)如图1，过B作交的延长线于点若，，求的长度；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转到，连接交于点，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．

【推荐2】如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°
（1）计算：求BC的长；
（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．如图2，当点C₁在线段CA的延长线上时．
①求∠CC₁A₁的度数；
②求四边形A₁BCC₁的面积；
（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A₁BC₁中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．