【推荐1】已知，为等边三角形，点D在边上．

【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连接．请直接写出之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．

【推荐2】在等边中，动点在上，点在的延长线上，且．

(1)如图1，当点是中点时，求证：．
(2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由．
(3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长．

【推荐3】、都是等边三角形．
　
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点P在内，为的中点，连、、，若，且．
①求证：；
②判断与的数量关系并证明．

【推荐1】如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）．
   
(1)如图1，当点在线段上时，若，连接．
①求点到的距离；
②请直接写出的长；
(2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积．

【推荐3】如图，已知梯形中，，，，，，点是边上一个动点（不与点重合），在边上取点，联结、，
   
（1）若点是的中点，且，求的值；
（2）若，设，，求关于的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当为等腰三角形时，求的长．

【推荐1】（1）计算：

（2）如图，E、F是矩形ABCD边BC上的两点，且AF=DE．求证：BE=CF．

【推荐3】如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，连接平分，过点E作于M．

(1)求证：；
(2)若G是的中点，连接交于点H．
①求证：；
②若，求的长．

【推荐3】在中，，点D是边上一点，过点D作于点E，点F是边的延长线上一点，且，连接，设两点间的距离为两点间的距离为两点间的距离为．
根据学习函数的经验，我们对因变量随自变量x的变化而变化的规律来进行探究．
(1)列表：下表的已知数据是根据两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的几组对应值：

	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
	4	4.01	4.02	4.03	4.05	4.10	4.16	4.24	4.33	4.45	4.61	4.78	a
	3	3.07	3.17	3.27	3.37	3.54	3.70	3.88	4.08	4.29	4.55	4.82	5.11

请你通过计算补全表格：______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于x的图象、函数关于x的图象；

(3)探究性质：请写出一条关于x的函数的性质：_________；
(4)解决问题：当是等腰三角形时，x大约是______（结果保留一位小数）．