综合与探究
【问题情境】
如图1，在
中，
，
，点
，
分别在边
，
上，且
．
【数学思考】
（1）在图1中，
的值为________；
（2）图1中保持不动，将
绕点
按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接
，
，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展探究】
（3）在图2中延长，分别交，于点
，
，连接
，得到图3，
与
之间的数量关系为________________；
（4）若将绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，
交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
【问题情境】
如图1，在
中，，，点，分别在边，上，且．【数学思考】
（1）在图1中，
的值为________；（2）图1中
保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；【拓展探究】
（3）在图2中延长
，分别交，于点，，连接，得到图3，与之间的数量关系为________________；（4）若将
绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
更新时间：2024/03/06 15:37:02
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在边长为
的正方形
中，延长
至点，使
，连接
交
于点．点和点
关于直线BE对称，连接
交于点
，交
于点
，连接
．
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)如图，延长交于点，求的长．
的正方形中，延长至点，使，连接交于点．点和点关于直线BE对称，连接交于点，交于点，连接．(1)求
的值； (2)求证：
；(3)如图
，延长交于点，求的长．
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【推荐2】【感知】如图①，点A、B、P均在
上，
，则锐角
的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形
的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接
、
、
．求证：
．小明发现，延长至点E，使
，连接，通过证明
．可推得
是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连接BE．
∵四边形ABCP是的内接四边形，∴
，
∴
，∴
，
∵是等边三角形，∴
，
∴
．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，
，
，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若
，则
的值为多少？
上，，则锐角的大小为______度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，
是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长
至点E，使，连接BE．∵四边形ABCP是
的内接四边形，∴，∴
，∴，∵
是等边三角形，∴，∴
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，
是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？
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，
，
，过点
，交
；
，求
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【推荐1】问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和
，其中
．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当
时，延长
交于点G．试判断四边形
的形状，并说明理由．
（2）深入探究：老师将图2中的
绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．
时，过点A作
交的延长线于点M，
与交于点N．试猜想线段
和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当
时，过点A作
于点H，若
，求
的长．
和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）深入探究：老师将图2中的
绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．
时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当
时，过点A作于点H，若，求的长．
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【推荐2】如图1，
是等腰直角三角形，
，点在的内部，连接，将线段绕点
逆时针旋转
，得到线段，连接、、
与的数量关系并给出证明；
(2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为 ．
(3)如图3，若
，
，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度．
是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、
与的数量关系并给出证明；(2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段
、、的数量关系为 ．(3)如图3，若
，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度．
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，
，求
，分别过点
，
，求证：
；
与射线
上两动点，且
，点
，将
绕点
，连接
，当
的面积．
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解题方法
【推荐1】如图1，在矩形中，
，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边
上沿
，
的方向运动，当点运动到点
时，
两点同时停止运动，设点运动的时间为
，连接
，过点作
，
与边相交于点，连接
．
（1）如图2，当
时，延长
交边于点．求证：
；
（2）在（1）的条件下，试探究线段
三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当
时，延长交边于点，连接
，若平分
，求
的值．
中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当
时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段
三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当
时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．
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【推荐2】已知，在△ABC中，AB=AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M．
猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD=CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．
探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD=CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD=1，CE=4，DM=0.7，求EM的长．
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分别与
交于点
，
．
的面积与
的面积相等，若存在，请求出点
时，求直线
的解析式．
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【推荐1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC、BD交于点 M，点E在边BC上，且∠DAE=∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．
（1）求证：
；
（2）联结DE，如果BF=3FM，求证：四边形ABED是平行四边形.
（1）求证：
；（2）联结DE，如果BF=3FM，求证：四边形ABED是平行四边形.
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名校
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
、
，与
轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点是抛物线上一点，点横坐标为3，连接，点为．上方抛物线上一点，连接，
，请求出
面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线
（
），新抛物线与原抛物线交于点
．点
是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于点、，与轴交于点．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点
是抛物线上一点，点横坐标为3，连接，点为．上方抛物线上一点，连接，，请求出面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将原抛物线
沿轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线（），新抛物线与原抛物线交于点．点是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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，
，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转
得到AN，过点C作
交直线AN于点F，在AM上取点E，使
．
时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
，
时，若
是直角三角形，直接写出AF的长．
