【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是点，点，且，满足：．

(1)求的度数；
(2)点为的中点，等腰的腰经过点，，连接．

①如图1，求证：；

②如图2，取的中点，延长交的延长线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示四边形的面积．

【推荐2】如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足；

(1)求点A的坐标；
(2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值．

【推荐1】同学们还记得吗？图①是我们研究过的湘教版八年级上册教材P99第16题“已知，如图在等腰三角形中，，是的中点，点、分别在、上求证：”的图形；图②是我们研究过的湘教版九年级上册教材第2题“如图，，，是的中点．已知，，求的长．”的图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
   
(1)【问题一】受图①启发，兴趣小组画出了图③，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图④：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图⑤：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以和为邻边作矩形，连接．
   
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：，，三条线段的长度之间是否存在某种固定的数量关系？若存在，请写出其中的关系式，并说明理由．

【推荐1】已知：在平面直角坐标系中，P为第二象限的一点，轴于A．若，且a，b满足．

(1)求的长度；
(2)在坐标轴上是否存在点C，使，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图，在y轴正半轴上取点B，使得，为第二象限上一点，过点D作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，且交线段于G，H两点，当时，求m、n的关系．

【推荐2】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：平分；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接．

(1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________；
(2)设与重合部分面积为，．
①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）．