如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，
，
，且a，b满足
．
(1)证明
为等边三角形；
(2)现有一动点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接
，在的下方作等边三角形
过点Q作
轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，
的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）
(3)在（2）问的条件下，已知
，当
为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线
与x轴的交点E的坐标．
，，且a，b满足．(1)证明
为等边三角形；(2)现有一动点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接
，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）(3)在（2）问的条件下，已知
，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．
更新时间：2024-03-12 10:56:47
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【推荐1】在平面直角坐标系中，对于点
和点
，若满足：
，则称点Q为点P的理想点．例如，点
的理想点为
．
(1)点
的理想点坐标是 ；若点P的理想点为
，则点P的坐标是 ；
(2)若点
的理想点在直线
上，则a的值为 ；
(3)点P在直线
上，其横坐标为
，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值；
(4)正方形
各顶点的坐标分别为
，
，
，
．点在直线
上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为．(1)点
的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ；(2)若点
的理想点在直线上，则a的值为 ；(3)点P在直线
上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值；(4)正方形
各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
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【推荐2】如图1所示，已知点
，有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．
(1)试说明
；
(2)若点M坐标为
，点N坐标为
，请直接写出m与n之间的数量关系；
(3)如图2所示，过点P作线段
，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为中点，且
，绕着顶点P旋转直角
，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，
和
是否还相等，请说明理由；
(4)在（3）条件下，请直接写出
的值．
，有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N． (1)试说明
；(2)若点M坐标为
，点N坐标为，请直接写出m与n之间的数量关系；(3)如图2所示，过点P作线段
，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为中点，且，绕着顶点P旋转直角，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，和是否还相等，请说明理由；(4)在（3）条件下，请直接写出
的值．
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【推荐1】（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，AB∥CD，请写出图中面积相等的三角形；
（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．
①分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；
②请利用（1）的结论解决如下问题：D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．
（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．
①分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；
②请利用（1）的结论解决如下问题：D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．
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【推荐2】在平面直角坐标系中，点
，
，
．已知抛物线
（a为常数，
），与y轴相交于点C，P为顶点．
(1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
(2)若点P在x轴上方，当
时，求a的值；(3)在（1）的情况下，连接
，
，点E，点F分别是线段
，上的动点，且
，连接
，
，求
最小值，并求此时点E和点F的坐标．
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【推荐3】如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，
，
，
．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动
秒时，动点P从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）OP =____________, OQ =____________；（用含t的代数式表示）
（2）当
时，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处．
①求点D的坐标；
②如果直线y = kx + b与直线AD平行，那么当直线y = kx + b与四边形PABD有交点时，求b 的取值范围．
，，．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）OP =____________, OQ =____________；（用含t的代数式表示）
（2）当
时，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处．①求点D的坐标；
②如果直线y = kx + b与直线AD平行，那么当直线y = kx + b与四边形PABD有交点时，求b 的取值范围．
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【推荐1】已知：如图,直线
与x轴相交于点A,与直线
相交于点P.动点E从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O,A重合）,过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分面积为S.
（1）求点P的坐标;
（2）请判断△OPA的形状并说明理由;
（3）请探究S与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.
与x轴相交于点A,与直线相交于点P.动点E从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O,A重合）,过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分面积为S.（1）求点P的坐标;
（2）请判断△OPA的形状并说明理由;
（3）请探究S与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.
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【推荐2】定义：有个内角为
，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中．
，若
，
，则
_____；
（2）如图2，直角坐标系中，
，
，若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是______；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（3）已知，准矩形ABCD中，，
，，当
为等腰三角形时，请求出这个准矩形的面积．
，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中．
，若，，则_____；（2）如图2，直角坐标系中，
，，若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是______；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（3）已知，准矩形ABCD中，
，，，当为等腰三角形时，请求出这个准矩形的面积．
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【推荐1】已知正方形和等腰
，
，
，连接．
（1）如图1，点
在
边上，若
，
，求的长；
（2）如图2，点在边上，点
为的中点，求证：
；
（3）如图3，点在边上，点为的中点，若
，
，则
的长为_____．（直接写出结果）．
和等腰，，，连接．（1）如图1，点
在边上，若，，求的长；（2）如图2，点
在边上，点为的中点，求证：；（3）如图3，点
在边上，点为的中点，若，，则的长为_____．（直接写出结果）．
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【推荐2】综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将正方形与正方形
按图1所示的方式摆放，其中
，试求
的长．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图1中的正方形绕点
逆时针方向旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，当点落在边
上时，连接
、
，延长与交于点
，求
的长．请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：如图3，连接、，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接
，若存在实数
满足等式
，求出的值．请你思考此问题，直接写出结果．
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将正方形
与正方形按图1所示的方式摆放，其中，试求的长． 数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图1中的正方形
绕点逆时针方向旋转，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，当点
落在边上时，连接、，延长与交于点，求的长．请你解答此问题．②“智慧小组”提出问题：如图3，连接
、，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．请你思考此问题，直接写出结果．
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是正方形
和
的距离分别为
，
，
，
沿点
连接
，并延长
与
．
是等腰直角三角形，
的大小．
