【推荐1】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标；

【推荐2】已知抛物线的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交该抛物线于点E，且．

(1)求点A的坐标和该抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
(1)若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？说明理由；
(2)若△ABC是等边三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？说明理由．

【推荐1】如图，平行四边形的两条对角线、相交于点，，，．

(1)试判断四边形的形状，并加以证明．
(2)求四边形是的周长和面积．

【推荐2】如图，在中，，D为BC边上一点，且，，，点E是AB边上的动点，连接DE．

(1)求AB的长；
(2)当是直角三角形时，求AE的长．

【推荐3】在四边形ABCD中AB=CB=，CD=，DA=1且ABCB试求四边形ABCD的面积．

【推荐1】在中，，，直线经过点A，过点B、C分别作的垂线，垂足分别为点D、E．

(1)规律探究：
（I）如图1，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（II）如图2，当直线绕点旋转到图2的位置时，请再探究线段、和的数量关系并说明理由；
(2)尝试应用：在图2中，延长线段交线段于点，若，，，求．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作轴交直线于点M．

(1)求直线的解析式；
(2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）
(3)过点Q作轴交直线于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．

【推荐3】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，平分．
（1）求、的度数；
（2）连接，且，求证：是等边三角形．

【推荐1】抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．

【推荐2】已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，

   

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时E点坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

【推荐3】综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．