在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究．
(1)如图1，点M、N在坐标轴上，点P在
的平分线
上，连接
，用直尺量得
，过点P作向坐标轴作垂线
，垂足分别为点E、F．求证：
；
(2)如图2，
为等腰直角三角形（
），点B在第二象限，
，若
， 求点B的坐标；
(3)如图3，为等腰直角三角形（），
，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，
交x轴于点
，若
平分
，探究m、n之间的数量关系．
(1)如图1，点M、N在坐标轴上，点P在
的平分线上，连接，用直尺量得，过点P作向坐标轴作垂线，垂足分别为点E、F．求证：；(2)如图2，
为等腰直角三角形（），点B在第二象限，，若， 求点B的坐标；(3)如图3，
为等腰直角三角形（），，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，交x轴于点，若平分，探究m、n之间的数量关系．
更新时间：2024-03-15 19:12:36
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【推荐1】出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的数学家赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．在平面直角坐标系中，定义md(P，Q)=
为两点
，之间的“曼哈顿距离”．例如A(2，-3)，B(5，2)，则md(A，B)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点D(0，2)，H(0，1)，点G(4，5)．
(1)求md(O，G)= ______；
(2)已知点T(t，2-t)，
①若md(H，T)=3，则T点坐标为__________；
②求md(G，T)的最小值__________；
(3)如果三个点P、Q、R之间的“曼哈顿距离”md(P，Q)、md(R，Q)、md(P，R)中，有一个是其它两个之和，称三角形PQR为“曼哈顿三角形”．已知M(0，m)，m<0，点N在第三象限，四边形DMNE为正方形．如果在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，使得三角形YHG是曼哈顿三角形，直接写出m的取值范围是__________
为两点，之间的“曼哈顿距离”．例如A(2，-3)，B(5，2)，则md(A，B)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点D(0，2)，H(0，1)，点G(4，5)．(1)求md(O，G)= ______；
(2)已知点T(t，2-t)，
①若md(H，T)=3，则T点坐标为__________；
②求md(G，T)的最小值__________；
(3)如果三个点P、Q、R之间的“曼哈顿距离”md(P，Q)、md(R，Q)、md(P，R)中，有一个是其它两个之和，称三角形PQR为“曼哈顿三角形”．已知M(0，m)，m<0，点N在第三象限，四边形DMNE为正方形．如果在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，使得三角形YHG是曼哈顿三角形，直接写出m的取值范围是__________
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(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
(3)直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ=OB时，求点P坐标．
(4)在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
(3)直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ=OB时，求点P坐标．
(4)在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
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，
，且a，b满足
．
的面积；
，且
，猜想线段
、
，将线段
至
，直线
中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在正方形
中，点E是边上一动点，将
沿着直线
翻折，得到
，连接
．
的中点，连接
，当
时，求证：垂直平分
；
(2)在（1）的条件下，求
的值；
(3)求
的最大值．
中，点E是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接．
的中点，连接，当时，求证：垂直平分；(2)在（1）的条件下，求
的值；(3)求
的最大值．
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较难
(0.4)
【推荐2】在数学探究课上，老师出示了如下探究问题，请你一起来探究．
已知：
是线段
所在平面内任意一点，分别以
、为边，在同侧作等边
和
，连接、
交于点
．
（1）如图1所示，当点在线段上移动，线与的数量关系是______；
（2）如图2所示，当点在直线，且
，上面的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．此时
的大小是否随着
的大小的变化而发生变化？若变化则写出变化规律，若不变则求出的度数；
（3）如图3所示在（2）的条件下，以为边在另一侧作等边
，连接、和
交于点，求证：
．
已知：
是线段所在平面内任意一点，分别以、为边，在同侧作等边和，连接、交于点．（1）如图1所示，当点
在线段上移动，线与的数量关系是______；（2）如图2所示，当点
在直线，且，上面的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．此时的大小是否随着的大小的变化而发生变化？若变化则写出变化规律，若不变则求出的度数；（3）如图3所示在（2）的条件下，以
为边在另一侧作等边，连接、和交于点，求证：．
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交于点
．
，当
时，求证：
；
若
，求
的值；
，当
时，
，点
为
，连接
的值．
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】和
中，
，
，点
是
延长线上一动点，点
在线段上，连接
与交于点
．
(1)如图1，若
，
，求
的面积；
(2)如图2，若
，求
、、之间的数量关系；
(3)如图3，移动点，使得点是线段的中点时，
，
，点，
分别是线段，上的动点，且
，连接
，
，求
的最小值．
中，，，点是延长线上一动点，点在线段上，连接与交于点．(1)如图1，若
，，求的面积；(2)如图2，若
，求、、之间的数量关系；(3)如图3，移动点
，使得点是线段的中点时，，，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）【问题解决】如图
，点
在线段
上，点
在同侧，
．求证：
．
（2）【探究应用】如图
，在中，
，
，直线
，
与
之间距离是1，与
之间距离是2，且、、分别经过点
，则边的长为______．
（3）【拓展延伸】如图
，在中，
，点是边的中点，点
分别在边
上，
．若
，
，则
的长为______．
，点在线段上，点在同侧，．求证：．（2）【探究应用】如图
，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______．（3）【拓展延伸】如图
，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______．
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(0.4)
【推荐3】综合与实践
【问题情境】
数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片，然后将等腰直角三角板
的锐角顶点和正方形的顶点
重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转
时，直线
分别交射线
于点
，探究线段
和
的数量关系：
【特例猜想】
（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点
和点重合时，线段和的数量关系为______．
【数学思考】
（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由．
【拓展探究】
（3）在旋转过程中，当正方形的边长为
，
的面积也为6时，请直接写出
的面积．
【问题情境】
数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片
，然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时，直线分别交射线于点，探究线段和的数量关系：【特例猜想】
（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点
和点重合时，线段和的数量关系为______．【数学思考】
（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段
和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由．【拓展探究】
（3）在
旋转过程中，当正方形的边长为，的面积也为6时，请直接写出的面积．
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