【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．请解答：

(1)的长为______，的长为______；
(2)如图，点是线段上一点，连接，作交于点，连接，求点的坐标并判断的形状；
(3)如备用图，若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y＝k₁x+2与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA＝OB，直线l₂：y＝k₂x+b经过点C（1，﹣），与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点．
（1）求直线l₁的解析式；
（2）如图①：若EC＝ED，求点D的坐标和△BFD的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】[探索规律]
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、 BC、 AC上，且DF//BC，EF//AB．设△ADF的边DF上的高为h₁，△EFC的边CE上的高为h₂．

(1)若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则=______；
(2)某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S₁、 S₂、S， EC的长为a，则S₂=______ (用含a和h₂的式子表示)；S₁=_____ (用含a、h₁和h₂的式子表示)；S=______(用含a、h₁的式子表示)；从而得出S=2．
[解决问题]
(3)如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG．若△ADE、△DBF．△EGC的面积分别为2、3、 5，求△ABC的面积．

【推荐1】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C．
   　　
（1）当MN⊥AB时，MN的长是多少？
（2）当线段NA′∥AD时，四边形AMA′N的面积是多少？
（3）在N点的运动过程中，A′C长度的最小值是多少？

【推荐3】在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化.

（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
（2）当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求四边形的面积.

【推荐2】如图1，在矩形中，，点E，F分别为的中点

(1)四边形是哪种特殊的平行四边形？为什么？
(2)如图2，点P是边上一点，交于点O，点A关于的对称点为点M，当点M落在线段上时，请说明：
(3)如图3，若点P是射线上一个动点，点A关于的对称点为点M，连接，当是等腰三角形时，请先直接写出所有符合条件的线段的长，再任选1种情况说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系xoy中，已知 A(4，0)、B(1，3)， 过的直线是绕着△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P，探究解决下列问题：     
（1）如图1所示，当直线旋转到与边OB相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点P的位置，使顶点O、B到直线的距离之和最大，（保留作图痕迹）；
（2）当直线旋转到与y轴的负半轴相交时，使顶点O、B到直线的距离之和最大，请直接写出点P的坐标是                ．（可在图2中分析）

【推荐1】.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线DE是⊙O的切线，点A为切点，DE∥BC；
（1）如图1.求证：AB=AC；
（2）如图2.点P是弧AB上一动点，连接PA、PB，作PF⊥PB,垂足为点P,PF交⊙O于点F, 求证：∠BAC=2∠APF；
（3）如图3.在（2）的条件下，连接PC，PA=，PB=，PC=，求线段PF的长.

【推荐3】【特例感知】
（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．
【类比迁移】（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．