【推荐1】在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为     ．（直接写出结果，不说明理由）

(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．

思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°
∴①∠ABE+       =∠CBF+       ；
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴∠BAE=∠BCF=60°
又∠ABC=60°
∴∠BCF=∠ABC
∴②______∥______；
当点E在点A处时，点F与点C重合．
当点E在点C处时，CF=CA．
∴③点F所经过的路径长为       ．
(3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．

(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为        ．（直接写出结果，不说明理由）

【推荐2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，点E在线段BD上，连接AE，且AE＝BE，延长AE交BC于点F，过点A作AG⊥AE交BD的延长线于点G．

(1)①若∠GBC＝25°，则∠AEG＝　 　°；
②如图1，求证：∠AGB＝2∠GBC；
(2)如图2，连接CG，若BG平分∠ABC，求证：BE＝CG；
(3)如图3，若D是AC的中点，求证：AF＝AG．

【推荐3】如图，在等边中，是边上一点，，点是点关于直线的对称点，点在直线上（点不与点重合），且．

(1)依题意补全图形，直接写出的度数（用含有的代数式表示）；
(2)探究、、满足的等量关系，并证明；
(3)若点在的延长线上，其余条件不变，直接写出、、满足的等量关系．

【推荐1】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
   
(1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　；
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明．

【推荐2】如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．

【推荐3】【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．

【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．

【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．

【推荐1】综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：
如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　               ，            °；

(2)类比探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展延伸：
如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则           ；

(4)实践应用：
如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为          ．

【推荐2】如图在中，，，直线，点是直线上的一个动点，连接，将绕逆时针旋转90°得到，连接交直线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，线段和线段的数量关系是______；
（2）如图2，当点在点的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；
（3）连接，若，请直接写出面积大小．

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．

(1)当点是中点时，求的面积；
(2)连接，若平分，求此时点的坐标；
(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；
(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标．

【推荐1】如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，．
   
(1)直接写出D是         三角形．
(2)求的度数；
(3)当时，探究线段的数量关系；
(4)请你探究：当= 　　时是等腰三角形？

【推荐2】图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．

(1)轴对称：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1，求的大小；
(2)旋转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点H、G，连接，如图2，则线段之间存在的数量关系为________，并证明你的结论；
(3)计算：在图2中，连接正方形对角线，若的两边分别交对角线于点M、点N，如图3，若，求正方形的面积．

【推荐3】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图（1）中，取的中点M；将沿着方向平移至；
(2)在图（2）中，将线段绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作于F．