【推荐1】(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD,
①求证：四边形BFDE是菱形；
②直接写出∠EBF的度数；
(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；
(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.

【推荐3】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形．
   
(1)求证：；
(2)连接，若四边形的面积为，求的值；
(3)连接，记的周长为m，在（2）的条件下，请直接写出m的最小值．

【推荐1】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；
②求线段DB的长度．
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连接，．若平移后的四边形是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段的长）为______．

【推荐2】已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

(1)当点P与点O重合时如图1，请证明OE=OF；
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【推荐3】如图，中，，垂足为B，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转60°，得到线段，连接，直线与直线相交于点F．

(1)连接，请直接写出线段与线段的数量关系；
(2)猜想线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)若，请直接写出线段的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转120°的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．如图为菱形的环绕点的示意图．
   
如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且．
   
(1)在点，，中，菱形的环绕点是______；
(2)若为菱形的环绕点，求的取值范围；
(3)设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，交延长线于点，是的切线，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为，当四边形为菱形时，求的长．

【推荐3】已知：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作等边△AEF．
（1）如图①，若点F落在线段BD上，线段AE、FD的数量关系是_；
（2）如图②，若点F不在线段BD上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）BE与BD满足BE=BD时，AE∥FD．

【推荐1】如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O．

(1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为         ．

【推荐2】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB．BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE；④用同样的方法作射线CF．BE交CF于点O．
请根据作图回答下列问题：
（1）O是△ABC的　 ；
A．外心 B．内心 C．重心
（2）若AB＝5，AC＝12，BC＝13，求O到BC的距离．

【推荐3】问题解决：如图1，在矩形中，点E，F分别在，边上，，于点G．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在，边上，与相交于点G，，，，，求的长．