【问题提出】
如图1，在矩形
中，点
在
上，且
，动点
以每秒1个单位的速度从点
出发，在折线段
上运动，连接
，当
时停止运动，过点作
，交矩形的边于点
，连接
．设动点的运动路程为
，线段与矩形的边围成的三角形的面积为
．
【初步感知】
如图2，动点由点向点
运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点
的坐标为
，与
轴的交点
的坐标为
，与轴的交点为点
．的边
和
的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程
，
，
，当
时，3个路程对应的面积均相等．
如图1，在矩形
中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．【初步感知】
如图2，动点
由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
的边和的长；【深入探究】
（2）点
由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程
，，，当时，3个路程对应的面积均相等．
更新时间：2024-03-30 00:05:16
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【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线
的开口向上，且经过点A(0,
).
(1)若此抛物线经过点B（2，-
），且与x轴相交于点E、F.
①填空：b= （用含a的代数式表示）；
②当EF的值最小时，求出EF的最小值和抛物线的解析式；
(2)若
，当
，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值.
的开口向上，且经过点A(0,).(1)若此抛物线经过点B（2，-
），且与x轴相交于点E、F.①填空：b= （用含a的代数式表示）；
②当EF的值最小时，求出EF的最小值和抛物线的解析式；
(2)若
，当，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值.
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【推荐2】已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
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，B
是一次函数y＝kx＋b与反比例函数
图象的两个交点．
有唯一的公共点时，求n的值；
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解题方法
【推荐1】如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为
，
，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：
(1)若点P是线段AC的中点，直接写出
________．
(2)如图2，过点P作
轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．
(3)连接BP，若
是等腰三角形，求CP的长度．
，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：(1)若点P是线段AC的中点，直接写出
________．(2)如图2，过点P作
轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．(3)连接BP，若
是等腰三角形，求CP的长度．
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【推荐2】平面直角坐标系
中，
，
分别在
轴正半轴和
轴负半轴上，
在第二象限，满足：
，
.已知
.
（1）求
,
的坐标；
（2）求点的坐标及
的面积；
（3）已知
是轴的正半轴上一点，
，
在第一象限，
，
，连接
交轴于点
.
①求证：
.
②在点的移动过程中，给出以下两个结论：（i）
的值不变；（ii）
的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.
中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，.已知.（1）求
,的坐标；（2）求点
的坐标及的面积；（3）已知
是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点.①求证：
.②在点
的移动过程中，给出以下两个结论：（i）的值不变；（ii）的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.
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【推荐3】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，且
ABO的面积为9．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D为线段AB的延长线上一点，连接DO，DO与PC的延长线交于点E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝
，求点D的坐标．
ABO的面积为9．（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
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【推荐1】如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作
，其中
与
的一边分别是射线和射线
，
的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
中，
，
，延长
至点，使
，作
的等联角
和
．将
沿
折叠，使点落在点处，得到
，再延长
交
的延长线于点，连接并延长交
的延长线于点，连接
．
的形状，并说明理由；
②若
，
，求等联线和线段
的长．
是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接．
的形状，并说明理由；②若
，，求等联线和线段的长．
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【推荐2】两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．
(1)如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，
．求
；
(2)如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求
；
(3)如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
(1)如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，
．求；(2)如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求
；(3)如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
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中，
，以
为直径的⊙
分别交边
于点D，E，过点A作⊙
的延长线于点F．
；
，
，求
的长．
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【推荐1】如图，抛物线
（
、
为常数）经过
和
两点，其顶点为
．
(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)若点是拋物线上第一象限的一个动点．设
的面积为，试求的最大值；
(3)若抛物线
与线段有两个交点，直接写出
的取值范围．
（、为常数）经过和两点，其顶点为．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)若点
是拋物线上第一象限的一个动点．设的面积为，试求的最大值；(3)若抛物线
与线段有两个交点，直接写出的取值范围．
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【推荐2】如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点为A(−1，−4)，与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点C．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
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与x轴交于点
，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为
．
分别与y轴、直线
时，求
，若
与
面积之比是
，请直接写出点F的坐标．
