【推荐1】如图，在中，，于点D，，求证：为等边三角形．

【推荐2】如图，在的网格中，、均在格点上，请只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写做法）

（1）在图1中画格点．使得为等腰三角形（请画出两个不同的点）；
（2）在图2中作出的角平分线．

【推荐3】如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的余弦值．

【推荐1】如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．

【推荐2】如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且，与交于点E．若，求的度数．

【推荐3】下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆外一点P．
求作：过点P且与相切的直线．
作法：如图，①连接，分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线，与交于点Q，以Q为圆心，以长为半径作圆，交于A，B两点；③作直线，．则直线，是所求作的的切线．
根据该小组设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．

证明：连接，，，，，
∵，，
∴是的垂直平分线，（                 ）（填推理的依据）
∴Q为中点，，
∴为的直径，
∴，（                 ）（填推理的依据）
∵A点在上，
∴是的切线．（                 ）（填推理的依据）

【推荐1】如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．

【推荐2】如图，四边形内接于，连接，，．
   
(1)求的大小；
(2)若的半径为3，求的长．

【推荐3】（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧．
求：①的度数；
②求的度数；
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．

【推荐1】已知，等腰梯形中，，，，，点是对角线上的一个动点，且，分别交射线和射线于点和点．
(1)如图(1)，当点，重合时，求的长；

(2)如图(2)当点在的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当线段时，求的值．

【推荐3】如图，在中，点在边上，点在边上，且，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．