某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形
和
按如图1摆放．连接
，
，延长交于点
，连接
，保持不动，将绕点
旋转．
【初步探究】（1）如图2，当点
，重合时，请写出，
，
之间的数量关系并加以证明：
【深入探究】（2）如图1，当点
，不重合时，（
）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，
．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图
，在
中，若
．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________．
和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转．【初步探究】（1）如图2，当点
，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明：【深入探究】（2）如图1，当点
，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，当
和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．【推广应用】（4）如图
，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________．
更新时间：2024-04-01 12:59:06
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【推荐1】
是等腰直角三角形，点为线段
上一点(点不和两点重合)，连接
并延长，在的延长线上找一点，使
．点为线段
上一点(点不和两点重合)，连接
，交
于点
．
(1)如图1，若
是线段的中点，求．
(2)如图2，若点是线段的中点，
，求证：
．
是等腰直角三角形，点为线段上一点(点不和两点重合)，连接并延长，在的延长线上找一点，使．点为线段上一点(点不和两点重合)，连接，交于点．(1)如图1，若
是线段的中点，求．(2)如图2，若点
是线段的中点，，求证：．
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【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，
、
，
，
．
(1)求证：
；
(2)如图2，E为
的邻补角的平分线上的一点，且
，
交
于点F，求
的长．
、，，． (1)求证：
；(2)如图2，E为
的邻补角的平分线上的一点，且，交于点F，求的长．
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【推荐1】【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 
始终平分同一平面内两条固定轴所成的
， 其中
，
， 发射中心能沿着发射杆滑动，
， 
为橡皮筋．
；
(2)当
由图2中的等边
变成直角
的过程中，求发射中心 向下滑动的距离
的长度．
始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋． 
；(2)当
由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
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【推荐2】如图1，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：
ABD≌CAE；
（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
（1）求证：
ABD≌CAE；（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
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，
，
．
；
，求线段
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【推荐1】如图，图①、图②、图③均为
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
(1)在图①中，点P为与的交点，则
的值为________；
(2)在图②中，在线段
上确定一点Q，使
；
(3)在图③中，在线段
上确定一点K，连结
、
，使
．
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，点P为
与的交点，则的值为________；(2)在图②中，在线段
上确定一点Q，使；(3)在图③中，在线段
上确定一点K，连结、，使．
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【推荐2】已知在中，
．
(1)如图1，以
为直径的
，交于点D，交于点E，连接
．求证：
．
(2)若以为直径的，交于点D，交
的延长线于点E，连接．请在图2中画出图形，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若
，
，求
的值．
中，． (1)如图1，以
为直径的，交于点D，交于点E，连接．求证：．(2)若以
为直径的，交于点D，交的延长线于点E，连接．请在图2中画出图形，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下，若
，，求的值．
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中，
，在三角板
中，
，将这副直角三角板按如图(1)所示位置摆放，点B与点F重合，直角边
与
在同一条直线上．现固定三角板
的长；
，两块三角板重叠部分的面积为y．求：y与x的函数关系式，并求出对应的x取值范围．
