【推荐2】（1）初步探究：
如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接．若，，求的面积．

（2）深入探究：如图2，正方形为一个艺术演艺规划区域，．在正方形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，；点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．

【推荐2】如图，在中，，，，是三角形的角平分线；是边上的动点，于，交于，、分别交于、．
   
(1)如果是等腰三角形，求的长；
(2)以为圆心、长为半径作，再以为圆心、为半径作．如果与相切，求的长；
(3)在点的运动过程中，是否可能与相似？如果能相似，求此时的长；如果不能相似，请说明理由．

【推荐3】在正方形ABCD中，E为DC右侧一动点，DE＝DC，连接AE，过点A作直线EC的垂线，垂足为P．

(1)若∠CDE＝20°，如图1，求∠DAE的度数；
(2)若90°＜∠CDE＜180°，依题意在图2中补全图形；
①连接PD，探究∠BAP与∠CDP之间的数量关系，并加以证明；
②连接BP，猜想线段AP，DP和PB之间的数量关系并证明．

【推荐1】【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．
问题情境：在菱形中，为边上一点（与A，D不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为．

操作感知：（1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案：①线段与的数量关系是________________；②线段的数量关系是________________．

猜想论证：（2）小夏取，如图1，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段与的数量关系与（1）①相同……
但线段的数量关系好像不再成立……
我发现线段之间好像具有与（1）②类似的数量关系．．．．．．
请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明．
拓展探究：（3）小梦测量得到，如图2，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值．

【推荐3】问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________；
(5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______．

【推荐1】已知和均为等腰直角三角形，其中，，，，连接，点F是的中点，连接、．

(1)如图，点E在线段上，且，，求线段的长；
(2)如图，连接，求证：；
(3)如图，，，将绕着点B逆时针旋转，将线段沿直线翻折得到线段，连接，当CF最大时，请直接写出的长度．

【推荐2】在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；
（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；
（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点；
Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
(1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．
①若，请你在下图中画出点，的位置；

②若，求m的值．
(2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）．