【推荐1】关注数学文化：古希腊的几何学家海伦在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式:若一个三角形的三边长分别为a,b,c，记p=，则三角形的面积S=(海伦公式).我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：.海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦-秦九韶公式.
若△ABC的三边长分别为5，6，7，△DEF的三边长分别为，，，请选择合适的公式分别求出△ABC和△DEF的面积.

【推荐2】阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　；
(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？
(4)化简：．

【推荐3】阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数、，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当　　　　时，式子取到最小值，最小值为 　　　　　；
(2)分式是 　　　（填“真分式”或“假分式”） ；假分式可化为带分式形式 　　；
(3)用篱笆围一个面积为平方米的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？

【推荐1】如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连结、．

(1)求证：；
(2)试判：与的关系？并说明理由．

【推荐2】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：

(1)【直接应用】若，，求的值；
(2)【类比应用】
①若，则______
②若满足，求的值．
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

【推荐3】如图1，中，，于D，且，
   
(1)求和的长
(2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若的边与平行，求t的值；
②若点E是边的中点，问在点M运动的过程中，能否成以为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【推荐1】等边△ABC的边BC在射线BD上,动点P在等边△ABC的BC边上（点P与BC不重合）,连接AP.

（1）如图1，当点P是BC的中点时，过点P作于E,并延长PE至N点，使得.①若,试求出AP的长度;
②连接CN,求证.
（2）如图2，若点M是△ABC的外角的角平分线上的一点，且,求证:.