【推荐1】如图，已知是的直径，点是上异于，的点，点是的中点，连接，，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求的值．

【推荐3】如图，在中，，．动点M由点A向点D运动，过点M在的右侧作，连接，使，过点A、M、P作．（参考数据： ， ， ）

(1)当与相切时．
①求的长；
②求的长．
(2)当的外心Q在的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
(3)当为等腰三角形，并且线段，与相交时，直接写出截线段所得的弦长．

【推荐3】如图，是的外接圆，是的直径，与关于对称，点C的对应点为点D，交于点E，连接交于点F．在C点作，交的延长线于点G．

   

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的值．

【推荐1】有一张半径为2的圆形纸片．

(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；
(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______；
(3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点D为弧ACB的中点，过点D的切线与BC的延长线交于点E．

（1）用尺规作图作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：DE⊥BC；
（3）若OC=2CE=4，求图中阴影部分面积．

【推荐3】如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．

(1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;
(3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．