【推荐3】在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
   
初步思考
（1）若点P落在矩形的边上（如图1）．
①当点P与点A重合时，_________°，当点E与点A重合时，_________°，
②当点F与C重合时，_________；
深入探究
（2）当点E在上，点F在上，、交于点O时（如图2），
①求证：四边形为菱形；
②若，则_________
③若的面积为S，则S的取值范围为_________；
拓展延伸
（3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图3）．当时，_________．

【推荐1】在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．
(1)当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角，连接．

①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形，是中点，连接，，，，求的值．

【推荐2】一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.

在平面直角坐标系中，设锐角的顶点与坐标原点O重合，的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点,且点P在第一象限.                                                     

（1） =_         __ (用含的式子表示);=____        _ (用含的式子表示) ;
（2）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.

①判断

②的取值范围是:_                   ___.

【推荐3】如图1，为等腰直角三角形，即，，．点在线段上（不与重合），以为腰长作等腰直角，即，且于．

(1)求证：；
(2)连接交于，若，求的值；
(3)如图2，过作交的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

【推荐2】【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．
       
(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．
①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标
②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接．

(1)观察猜想：图1中，边的长是______，的值为______；
(2)探究证明：把绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接，，请求出的值；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出线段的长．

【推荐1】小王在学习人教版课本第二十七章后，进一步开展探究活动：如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点．

(1)（探究1）如图1，很容易发现线段与之间的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
(2)（探究2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；
(3)（探究3）如图2，在（2）的条件下，求证：；
(4)（探究4）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值．

【推荐2】已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中点，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，连接FG
（1）求证：△AME∽△CPG；
（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；
（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．

【推荐3】【问题提出】某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形，点E为上的一点，，交于点F，将绕点B顺时针旋转得到，探究与的数量关系．
【问题探究】探究一：若四边形为正方形
（1）如图1，正方形中，点E为上的一点，交于点F．则的值为_________；

（2）如图2．将图1中的绕点B顺时针旋转 得到，连接、，试求的值；

探究二：若四边形为矩形
如图3，矩形中，点E为上的一点，交于点F，；

（3）将图3中的绕点B顺时针旋转得到，连接、．请在图4中补全图形，并探究此时的值；