【推荐1】（1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）中，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2）

【推荐2】如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

(1)探究1：小强看到图（1）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，请你根据提示写出小强的证明过程．
(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．

【推荐3】如图1：在纸片中，，于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片沿剪开：
第二步：在同一平面内将所得到的两个三角形和拼在一起，如图2所示，这两个三角形分别记为和；
第三步：分别延长和相交于点．

(1)求证：四边形是正方形：
(2)如图3，连接分别交、于点M、N，将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到，则的度数为______；、、之间的数量关系为______．

【推荐1】等边边长为，为边上一点，，且、分别于边、交于点、．
如图，当点为的三等分点，且时，判断的形状；
如图，若点在边上运动，且保持，设，四边形面积的，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
如图，若点在边上运动，且绕点旋转，当时，求的长．

【推荐2】如图，为的直径，是半圆的中点，延长到，使，连结、．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．

【推荐3】如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．

(1)在图中作一个以点A，B，C，D为顶点的格点四边形，且该四边形为中心对称图形．
(2)在图中找一个格点E，连结，使将的面积分为．

【推荐1】如图，在中，，平分，的平分线交于点，以为直径的经过点，交于另一点．
   
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求阴影部分的面积．

【推荐2】如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：）

(1)若，点A到底座的距离是        ；
(2)为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为       ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？

【推荐3】如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，，的延长线交于点，山坡坡度为（即）．注：取为．

（1）求该建筑物的高度（即的长）．
（2）求此人所在位置点的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）．
（3）若某一时刻，米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是米，则同一时刻该座建筑物顶点投影与山坡上点重合，求点到该座建筑物的水平距离．