【推荐1】抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．
（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点　 　，　 　．
（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A₁，A₂，……A_n，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为C _n，抛物线C _n经过点A_n，C _n的顶点坐标为M_n（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C₁经过点A₁，C₁的顶点坐标为M₁）．
①抛物线C₂的解析式为　 　，顶点坐标为　 　．
②抛物线C₁上是否存在点P，使得PM₁∥A₂M₂？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM₁M₂A₂的形状；若不存在，请说明理由．
③直接写出M_n﹣1，M_n两顶点间的距离：　 　．
   

【推荐2】如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)求周长的最小值；
(3)将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标．

【推荐1】如图1，平行四边形中，于点E，交的延长线于点F．
                                                                    

(1)求证；
(2)连接，分别交于G、H（如图2），求证：；
(3)在图2中，若，求的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系内，四边形的顶点是坐标原点，点在轴正半轴上，，点的坐标为，点在轴正半轴上，轴，垂足为点，连接，点是轴正半轴上的一个动点，设点的横坐标为．

（1）点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）连接，设的面积为．
①求与之间的函数关系式；②当时，求出点的坐标．
（3）点是直线上一点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图，在矩形中，点在边上，动点以厘米/秒的速度从点A出发，沿的边按照的顺序运动一周．设点从A出发经（）秒后，的面积是．
   
(1)若厘米，厘米，当点在线段上时，求关于的函数表达式．
(2)已知点是的中点，当点在线段上时，；当点在线段上时，．求关于的函数表达式．

【推荐1】如图①，已知点、在直线上，且于点，且，以为直径在的左侧作半圆于点，且．
（1）若半圆上有一点，则的最大值为__________；
（2）向右沿直线平移得到．
①如图②，若截半圆的的长为，求的度数；
②当半圆与的边相切时，求平移距离．
   

【推荐2】（1）【方法尝试】
如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；

（2）【类比迁移】
如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值．

【推荐1】已知抛物线．
(1)当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)若已知点，，当抛物线与线段有且只有一个交点时，求a的取值范围．

【推荐3】如图1，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上（点与点不重合），我们把这样的两抛物线、互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
　
             图1                                           图2
(1)在图1中，抛物线：：与：互为“伴随抛物线”，则点的坐标为________，的值为________；
(2)在图2中，已知抛物线：，它的“伴随抛物线”为，若与轴相交的左侧交点为，顶点为，与轴相交的右侧交点为，顶点为，当四边形为平行四边形时，求抛物线的解析式；
(3)若抛物的任意一条“伴随抛物线”的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由．