【推荐1】如图，中，是边上一点，连接．

（1）在的右侧用尺规作等边（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接当为等腰三角形时，求的度数.（本题的图不用再尺规作图）

【推荐2】（1） [方法探索] 如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PC=4，∠APC=150°，求PB的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP'，分别证明△AP'P和△BP'P是特殊三角形，从而得解，请在此思路提示下，求出PB的长．
解：把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP'，请接着写下去：
（2）[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2，点P在等边△ABC外，且PA=4，PB=3，∠APB=120°，则AB=       
（3）[方法拓展]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=6，以点C为圆心，3为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则CP'的最小值为是         

【推荐3】对于及其内部任意一点，给出如下定义：若点满足且，则称点为点关于的“邻近点”，在平面直角坐标系中，点坐标为．
   
(1)如图1，点在轴上方，若为等边三角形．
①在点，，中，点关于的“邻近点”是 　　；
②已知点是点关于的“邻近点”，若点的横坐标为1，则线段长度的取值范围是 　 　；
(2)已知点的坐标为，
①若，在图2中画出所有点关于的“邻近点”组成的图形；
②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当时，点关于的“邻近点”中有个整点，请直接写出所有可能取值的和为 　 　．

【推荐1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD交于点P，下面给出5个论断：①AB//CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．
(1)若用论断①和④作为条件，试证四边形ABCD是矩形．
(2)请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断．如：_________和_________、___________和________________(不证明，用序号表示即可)．
(3)若选取论断③和⑤作为条件，能推出四边形ABCD为矩形吗?若能，请给出证明；若不能，请举反例说明．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，弧CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点，连接PA、PB，PB交CD于E．
（1）如图（1）连接PC、CB，求证：∠BCP=∠PED；
（2）如图（2）过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点E，过点A向PF引垂线，垂足为G，求证：∠APG=∠F；
（3）如图（3）在图（2）的条件下，连接PH，若PH=PF，3PF=5PG，BE=2，求⊙O的直径AB．

【推荐3】如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，AC、BD交于点P．
（1）求证：DB=DC
（2）求证：AB：BD=PB：PC

【推荐1】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，过A，D两点的⊙O交AC于E，弦EF∥BC．

（1）求证：AD＝EF；
（2）若O在AC边上，且⊙O与BC边相切，当EF＝2时，求的长．