【推荐1】在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点，已知点A，B，C．

(1)在点、、中，线段的内垂点为________；
(2)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是________；
(3)若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是1，则点M的坐标为________；
(4)已知直线m与x轴交于点，与y轴交于点，将直线m沿y轴平移2个单位长度得到直线n，若存在点Q，使线段的内垂点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标．

【推荐2】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
   

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若＝，求证A为EH的中点；
（3）若EA＝EF＝2，求圆O的半径．

【推荐1】如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′．

（1）如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时求点A的坐标；
（2）如图②，当P为A′B中点时，求A′B的长；

【推荐3】把和按如图①摆放点与重合，点、、在同一条直线上．已知：，，，，．如图②，从图①的位置出发，以每秒个单位的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动；当点移动到点时，点停止移动，也随之停止移动．与交于点，连接，设移动时间为．

（1）在平移的过程中，______（用含的代数式表示）；当点落在的边上时，求的值．
（2）在移动过程中，当时，连接，
①设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并试探究的最大值；
②是否存在为直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D（其中 BD>CD），BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于点 F，直线 AD 与△BCF 的外接圆 O 交于点 H，点 M 在圆 O 上，满足弧 HM=弧 CF，连接 FM．

（1）求证：AF=CM；
（2）若∠ABE=45°，FH ，圆O的直径为，求BF的值．

【推荐3】（2016广西钦州市）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

【推荐1】综合与实践
如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．

   

【数学思考】
(1)折痕的长为______；
(2)绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
(3)绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点时，的长为______；
②如图3，当直线时，的长为______；
【问题延伸】
(4)在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．

【推荐2】在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．

（1）发现问题
如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是　 　；
（2）类比探究
如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明；
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是线段BC上的任意一点．连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45°，得到线段AQ，连接BQ，试求线段BQ长度的最小值．

【推荐3】在中，，，点P是平面内不与点B，C重合的一动点，连接PC，将线段PC绕点P顺时针旋转得到线段PQ，连接BQ，CQ，AP，点M，N分别是线段CB，CQ的中点，连接MN．

(1)【观察猜想】如图1，当点P与点B在直线CA两侧，时，的值是______，直线MN与直线PA所成的锐角的度数是______；
(2)【类比探究】如图2，当点P与点B在直线CA两侧，时，求的值及直线MN与直线PA所成的锐角的度数；
(3)【解决问题】当点P在直线BC上方，，且点A，P，Q在同一条直线上时，连接BP，已知，请直接写出的值．