【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，过作轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接，当，，求点的坐标．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点D(2，﹣2)．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标；
(3)若点P是y轴上一点，以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

【推荐3】已知点在抛物线：（，均为常数且）上，交轴于点，连接．

（1）用表示，并求的对称轴；
（2）当经过点（4，-7）时，求此时的表达式及其顶点坐标；
（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，求的取值范围：
（4）点，是上的两点，若，当时，均有，直接写出的取值范围．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，交于，连结交于，且，连结．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)当，且时，求的长；
(3)当时，求的值．

【推荐3】如图，为正三角形，，为的边上中线，点为中线上一动点，连接，取的中点，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，连接，．

（1）如图1，若，求；
（2）在点运动过程中，探究直线与的位置关系，请就图2给出证明；
（3）若将题目中“点在中线上运动”改为“点为射线上一动点”，其他条件不变，在点运动过程中，线段是否存在最小值？若存在，说明理由并求出的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知抛物线 与x轴交于A、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点，且．
   
(1)求二次函数的解析式；
(2)若抛物线上B、C 两点之间有一点N，且的面积为4，求N点坐标；
(3)抛物线的对称轴交x 轴于M，P 为抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点Q，点P 关于抛物线对称轴的对称点为，直线交对称轴于G 点，试探究：在P 点运动的过程中，线段的长度会发生变化吗？若不变，请求其长度．

【推荐3】已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点(点在点的侧)，与轴交于点，连接，．
（1）如图1，求的值；

（2）如图2，是轴上一点(不与点、重合)，过点作轴的平行线，交抛物线于点，交直线于点．

①当点在点右侧时，连接AF，当时，求的长．
②当点在运动时，若、、中有两条线段相等，此时点的坐标_________．

【推荐2】二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物线的顶点为D．

（1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式；
（2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数；
（3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5．且抛物线过点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),并有AD=BD．设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.