【推荐1】如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，求的长；
(3)连接，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由．

【推荐2】如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．
求证：
   
(1)；
(2)是等边三角形．

【推荐3】如图，的中线，相交于点G，求证：，．

【推荐1】在中，．
   
(1)如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并证明．
(2)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想．
(3)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明．

【推荐2】在正方形中，两条对角线、相交于点O，且，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点E，射线交的延长线上一点F，连接，求证：．

【推荐3】如图，在四边形中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F．
   
(1)和全等吗？说明理由；
(2)若，说明；
(3)在（2）的条件下，若，，，求E到的距离．

【推荐3】如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．

   

(1)求证：是等腰三角形；
(2)当＝       度时，是等边三角形？请证明你的结论．

【推荐1】如图1，△ABC和△DBE中，AB＝CB，DB＝EB，∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE、DC，求证AE＝CD，AE⊥CD．
证明：延长CD交AE于点F，∵AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝90°，BE＝DB
∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB
∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∠ADF＝∠CDB．∴∠ADF＋∠DAF＝90°∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD．
类比：
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；如不成立，请说明理由．
拓展：（直接回答问题结果，不要求写结论过程）
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：
①图3中的线段AE、CD是否仍然相等？
②线段AE、CD的位置关系是否发生改变？若改变，其所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变化，其值多少？

【推荐2】如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S．

(1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______
(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

【推荐3】已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，点D在边BC上运动，连接AD．

(1)如图1，若AB＝4，AD⊥BC，求AC的长；
(2)如图2，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到AE，过点E作EF⊥BC于点F，连接AF．求证：△AFC是等腰直角三角形；
(3)如图3，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到AE，当点E恰好在线段AB的垂直平分线上时，求的值．