【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F在第一象限运动时，连接线段，且．当S取最大值时，求点F的坐标；
(3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．
①求面积的最大值；
②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值．

【推荐3】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

【推荐1】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）
   
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四边形中，且，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，，）与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①；②；③“十字形”的周长为．

【推荐2】问题提出：

如图，四边形是矩形，，E为射线上的动点，连接，过E作（点F在的左侧），且，过D作交射线于点G，连接，设长为x，四边形的面积为y（x，y均可等于0）．

初步感知：

（1）如图1，当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，l为其对称轴，请根据图象信息求y关于x的函数解析式及线段的长；

（2）当点E在线段的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式；

延伸探究：

（3）若存在三个不同位置的点E（从右向左依次用表示），对应的四边形面积均相等．

①试确定的数量关系，并说明理由；

②当时，求四边形的面积．

   

【推荐3】如图1，抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．

(1)抛物线y＝x²对应的碗宽为       ；
(2)抛物线y＝ax²（a＞0）对应的碗宽为      ；抛物线y＝a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碗高为      ；
(3)已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．

【推荐2】
(1)如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上点，，若，，则______；
(2)如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作EF⊥DE，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为______．
(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，厘米，点C到AB的距离为5厘米，且．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？

【推荐3】如图，抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3（k≠0 ），∠ABC=45°，
（1）求b、c的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线与x轴的另一个交点为A（-1，0）．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
      

【推荐2】综合与探究
如图，抛物线y=−x²+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0<m<3)，连接DB，DC．当△BCD的面积最大时，求m的值；
(3)试探究：在y轴上是否存在点P，使得∠PAO=∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．

   

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．